扇形是圆的一部分，由两条半径和它们所夹的一段弧围成的图形。想象把一个披萨切下一小块，那一块就是扇形。扇形的大小由圆心角决定——圆心角越大，扇形就越大。

扇形有两个重要属性：弧长（即扇形边缘弯曲部分的长度）和面积（即扇形内部区域的大小）。它们都与整个圆的周长和面积成比例，比例系数就是圆心角占360°的比例。

设圆的半径为 $r$，圆心角为 $n^\circ$（单位为度），则：

• 扇形的弧长 $l = \frac{n}{360} \times 2\pi r = \frac{n\pi r}{180}$；
• 扇形的面积 $S = \frac{n}{360} \times \pi r^2$。

如果圆心角用弧度制表示为 $\theta$（单位为弧度），那么公式更简洁：弧长 $l = \theta r$，面积 $S = \frac{1}{2} \theta r^2$。初中阶段通常使用角度制，因此重点掌握角度制下的公式即可。

• 弧长公式：$l = \frac{n}{360} \times 2\pi r = \frac{n\pi r}{180}$
  示例：半径为6 cm，圆心角为90°的扇形，弧长 $l = \frac{90 \times \pi \times 6}{180} = 3\pi \approx 9.42$ cm。

• 面积公式：$S = \frac{n}{360} \times \pi r^2$
  示例：半径为5 cm，圆心角为120°的扇形，面积 $S = \frac{120}{360} \times \pi \times 5^2 = \frac{1}{3} \times 25\pi \approx 26.18$ cm²。

例题1（基础）：一个扇形的半径是10 cm，圆心角是72°，求它的弧长和面积。

解：

1. 弧长：$l = \frac{72}{360} \times 2\pi \times 10 = \frac{1}{5} \times 20\pi = 4\pi \approx 12.57$ cm。
2. 面积：$S = \frac{72}{360} \times \pi \times 10^2 = \frac{1}{5} \times 100\pi = 20\pi \approx 62.83$ cm²。

答：弧长约12.57 cm，面积约62.83 cm²。

例题2（应用）：一把扇子展开后形成一个圆心角为150°的扇形，扇骨长30 cm。如果扇面材料每平方厘米成本0.05元，制作这个扇面需要多少元？（结果保留两位小数）

解：

1. 扇面即扇形，半径 $r = 30$ cm，圆心角 $n = 150^\circ$。
2. 面积：$S = \frac{150}{360} \times \pi \times 30^2 = \frac{5}{12} \times 900\pi = 375\pi \approx 1178.10$ cm²。
3. 成本：$1178.10 \times 0.05 = 58.905 \approx 58.91$ 元。

答：制作扇面约需58.91元。

• 混淆弧度与角度：初中阶段使用角度制，不要误用弧度公式（如 $l = \theta r$）。记住题目中角度带“°”符号。
• 忘记除以360：计算弧长或面积时，必须乘以 $\frac{n}{360}$，否则会当成整个圆来算。
• 单位不统一：半径单位如果是米，结果也应是米或平方米，注意题目要求。
• 把直径当半径用：题目给的是直径时，要先除以2得到半径再代入公式。
• 近似值过早取舍：中间步骤尽量保留 $\pi$，最后再用3.14计算，避免累积误差。