整除性是指一个整数能被另一个非零整数整除，即没有余数。若整数 $a$ 能被整数 $b$（$b \neq 0$）整除，记作 $b \mid a$，表示存在整数 $k$，使得 $a = b \cdot k$。例如，$6 \div 3 = 2$，所以 $3 \mid 6$。

奇偶性是整数的重要属性：能被2整除的整数叫偶数，不能被2整除的叫奇数。任意整数 $n$ 要么是奇数，要么是偶数。我们可以用代数形式表示：偶数可写成 $2k$，奇数可写成 $2k+1$（其中 $k$ 是整数）。

奇偶数的加减乘有固定规律：

• 偶 ± 偶 = 偶，奇 ± 奇 = 偶，奇 ± 偶 = 奇；
• 偶 × 任意整数 = 偶，奇 × 奇 = 奇。

这些规律在判断表达式结果的奇偶性或证明某些不可能性时非常有用。

• 整除定义：若 $\exists k \in \mathbb{Z}$，使得 $a = b \cdot k$，则 $b \mid a$。例：$4 \mid 12$，因为 $12 = 4 \times 3$。
• 偶数表示：任意偶数可写为 $2k$（$k \in \mathbb{Z}$）。例：$8 = 2 \times 4$。
• 奇数表示：任意奇数可写为 $2k + 1$（$k \in \mathbb{Z}$）。例：$7 = 2 \times 3 + 1$。
• 奇偶运算规则：
  • 奇 + 奇 = 偶（如 $3 + 5 = 8$）
  • 偶 × 奇 = 偶（如 $4 \times 3 = 12$）

例题1：判断 $15 \times 18 + 7$ 是奇数还是偶数。

解：

1. 分析各部分奇偶性：$15$ 是奇数，$18$ 是偶数。
2. 奇 × 偶 = 偶，所以 $15 \times 18$ 是偶数。
3. 偶 + 奇 = 奇，而 $7$ 是奇数，因此偶数 + 奇数 = 奇数。
4. 结论：结果是奇数。

例题2：已知整数 $a$ 和 $b$ 满足 $a + b$ 是奇数，问 $ab$ 是奇数还是偶数？

解：

1. 若 $a + b$ 是奇数，则其中一个为奇数，另一个为偶数（因为奇+偶=奇）。
2. 不妨设 $a$ 为奇数，$b$ 为偶数（反之同理）。
3. 奇 × 偶 = 偶，所以 $ab$ 必为偶数。
4. 因此，无论哪种情况，$ab$ 都是偶数。

• 混淆“整除”与“除尽”：认为小数也能谈整除。记住：整除只针对整数，且除数不能为0。
• 误判奇偶性：比如认为负数没有奇偶性。实际上，$-3$ 是奇数，$-4$ 是偶数，奇偶性对所有整数都适用。
• 忽略0的特殊性：0是偶数（因为 $0 = 2 \times 0$），且任何非零整数都能整除0（如 $5 \mid 0$），但0不能做除数。
• 错误应用奇偶运算：如认为“奇 + 偶 = 偶”，应牢记：奇 + 偶 = 奇。
• 在证明中跳步：例如直接说“结果是偶数”而不说明理由。应写出依据，如“因为两个奇数相加得偶数”。