最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。例如，12 和 18 的公约数有 1、2、3、6，其中最大的是 6，所以 $\gcd(12, 18) = 6$。

最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指两个或多个整数共有的倍数中最小的一个（不包括0）。例如，12 和 18 的公倍数有 36、72、108……，最小的是 36，所以 $\mathrm{lcm}(12, 18) = 36$。

求 GCD 常用的方法有两种：一是分解质因数法，把每个数分解成质因数的乘积，取所有公共质因数的最低次幂相乘；二是辗转相除法（也叫欧几里得算法），适用于较大的数。

GCD 和 LCM 之间有一个重要关系：对任意两个正整数 $a$ 和 $b$，都有

这个公式在解题时非常有用。

• 最大公约数定义：$\gcd(a, b)$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公共约数。
  示例：$\gcd(8, 12) = 4$

• 最小公倍数定义：$\mathrm{lcm}(a, b)$ 是 $a$ 和 $b$ 的最小公共倍数。
  示例：$\mathrm{lcm}(8, 12) = 24$

• GCD 与 LCM 关系式：$\gcd(a, b) \times \mathrm{lcm}(a, b) = a \times b$
  示例：$\gcd(6, 9) = 3$，$\mathrm{lcm}(6, 9) = 18$，验证：$3 \times 18 = 6 \times 9 = 54$

例题1（基础）：求 $\gcd(24, 36)$ 和 $\mathrm{lcm}(24, 36)$。

解：

1. 分解质因数：
   • $24 = 2^3 \times 3$
   • $36 = 2^2 \times 3^2$
2. 最大公约数：取公共质因数的最低次幂，即 $2^2 \times 3 = 12$，所以 $\gcd(24, 36) = 12$。
3. 最小公倍数：取所有质因数的最高次幂，即 $2^3 \times 3^2 = 72$，所以 $\mathrm{lcm}(24, 36) = 72$。
4. 验证关系：$12 \times 72 = 864 = 24 \times 36$，正确。

例题2（进阶）：已知两个数的最大公约数是 6，最小公倍数是 180，其中一个数是 30，求另一个数。

解：

1. 设另一个数为 $x$。
2. 根据公式：$\gcd(30, x) \times \mathrm{lcm}(30, x) = 30 \times x$
3. 代入已知：$6 \times 180 = 30 \times x$
4. 计算左边：$1080 = 30x$
5. 解得：$x = 1080 \div 30 = 36$
6. 验证：$\gcd(30, 36) = 6$，$\mathrm{lcm}(30, 36) = 180$，符合题意。

答：另一个数是 36。

• 混淆 GCD 和 LCM 的求法：学生常把“取最低次幂”用于 LCM，或将“取最高次幂”用于 GCD。应牢记：GCD 取公共质因数的最低次幂，LCM 取所有质因数的最高次幂。

• 忽略“公共”二字：求 GCD 时只考虑两个数都含有的质因数，不能把某个数独有的质因数算进去。

• 误认为 LCM 一定大于两个数：实际上，如果一个数是另一个数的倍数（如 4 和 8），则 LCM 就是较大的那个数（8），并不“更大”。

• 忘记验证公式关系：做完题后可用 $\gcd \times \mathrm{lcm} = a \times b$ 快速检查答案是否合理。

• 在辗转相除法中计算错误：步骤多容易出错，建议写清楚每一步的除法过程，如 $\gcd(48, 18)$：$48 ÷ 18 = 2$ 余 12，再算 $\gcd(18, 12)$，依此类推。