最小公倍数（Least Common Multiple，简称 LCM）是指几个整数公有的倍数中最小的一个正整数。例如，4 的倍数有 4, 8, 12, 16, 20, …；6 的倍数有 6, 12, 18, 24, …，它们的公倍数包括 12, 24, 36, …，其中最小的是 12，所以 $\text{LCM}(4,6) = 12$。

求最小公倍数常用两种方法：

1. 列举法：列出各数的倍数，找最小公共值（适合小数字）。
2. 质因数分解法：将每个数分解成质因数的乘积，对每个质因数取最高次幂，再相乘。例如：$12 = 2^2 \times 3$，$18 = 2 \times 3^2$，则 $\text{LCM}(12,18) = 2^2 \times 3^2 = 36$。

此外，两个正整数 $a$ 和 $b$ 满足关系：

其中 GCD 表示最大公约数。这个公式在已知 GCD 时特别有用。

• 质因数分解法：若 $a = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots$，$b = p_1^{f_1} p_2^{f_2} \cdots$，则

示例：$a=8=2^3$，$b=12=2^2 \times 3$，则 $\text{LCM}=2^3 \times 3 = 24$。

• LCM 与 GCD 关系式：

示例：$\text{GCD}(15,25)=5$，则 $\text{LCM}(15,25)=\frac{15 \times 25}{5}=75$。

例题1（基础）：求 6 和 9 的最小公倍数。

解：

1. 分别列出倍数：
   6 的倍数：6, 12, 18, 24, …
   9 的倍数：9, 18, 27, …
2. 找到第一个相同的数：18。
3. 所以 $\text{LCM}(6,9) = 18$。

例题2（进阶）：用质因数分解法求 $\text{LCM}(24, 36, 60)$。

解：

1. 分解质因数：
   $24 = 2^3 \times 3$
   $36 = 2^2 \times 3^2$
   $60 = 2^2 \times 3 \times 5$
2. 对每个质因数取最高次幂：
   • 2 的最高次幂是 $2^3$（来自 24）
   • 3 的最高次幂是 $3^2$（来自 36）
   • 5 的最高次幂是 $5^1$（来自 60）
3. 相乘得：$\text{LCM} = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$。
4. 所以 $\text{LCM}(24,36,60) = 360$。

• 混淆 LCM 与 GCD：LCM 是“最小公倍数”，GCD 是“最大公约数”。记住：LCM ≥ 原数，GCD ≤ 原数。
• 遗漏质因数：在质因数分解法中，必须包含所有出现过的质因数（如例题2中的 5），不能只看前两个数。
• 取错指数：应取每个质因数的最高次幂，而不是最低或相加。
• 忽略公式适用条件：关系式 $\text{LCM}(a,b) = \frac{ab}{\text{GCD}(a,b)}$ 仅适用于两个正整数，不能直接用于三个及以上数。
• 认为 LCM 就是两数相乘：只有当两数互素（GCD=1）时才成立，如 $\text{LCM}(4,5)=20$，但 $\text{LCM}(4,6) \neq 24$。