乘方是指将一个数连续相乘若干次的运算，记作 $a^n$，其中 $a$ 是底数，$n$ 是指数。例如，$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$。在速算中，我们常关注乘方结果的个位数字（尾数），因为很多实际问题（如判断整除性、找周期等）只需要知道最后一位。

有趣的是，个位数字的幂次具有循环规律。比如，以2为底数：

• $2^1 = 2$（尾数2）
• $2^2 = 4$（尾数4）
• $2^3 = 8$（尾数8）
• $2^4 = 16$（尾数6）
• $2^5 = 32$（尾数2）……

可以看到，尾数按 2, 4, 8, 6 循环，周期为4。

类似地，其他个位数字也有各自的循环节长度（通常为1、2或4）。掌握这些规律后，即使面对像 $7^{100}$ 这样的大指数，也能快速找出其个位数字。

• 尾数循环周期法：若个位数字为 $d$，其幂次尾数每 $T$ 次一循环，则 $d^n$ 的尾数等于 $d^{r}$ 的尾数，其中 $r = n \bmod T$（若余数为0，则取 $r = T$）。

  • 示例：求 $3^{10}$ 的个位数字。3的尾数循环为 3, 9, 7, 1（周期4），$10 \div 4 = 2\cdots\cdots2$，余数2，对应第2项“9”，所以个位是9。

• 常见个位数字的循环规律：

  • 0, 1, 5, 6：任何正整数次幂尾数不变（周期1）
    • 如 $5^7$ 尾数为5
  • 4, 9：周期为2
    • 如 $4^3$：循环为4, 6；$3 \bmod 2 = 1$，对应4
  • 2, 3, 7, 8：周期为4
    • 如 $8^5$：循环为8, 4, 2, 6；$5 \bmod 4 = 1$，对应8

例题1：求 $6^{2023}$ 的个位数字。

解：

1. 观察个位数字6的幂次规律：$6^1=6$，$6^2=36$，$6^3=216$，……发现任何正整数次幂的个位都是6。
2. 因此，无论指数多大，$6^{2023}$ 的个位数字都是 6。

例题2：求 $7^{50}$ 的个位数字。

解：

1. 先列出7的幂次尾数：
   • $7^1 = 7$ → 尾数7
   • $7^2 = 49$ → 尾数9
   • $7^3 = 343$ → 尾数3
   • $7^4 = 2401$ → 尾数1
   • $7^5 = 16807$ → 尾数7（开始重复） 所以循环为 7, 9, 3, 1，周期 $T = 4$。
2. 计算指数50除以周期4的余数：$50 \div 4 = 12\cdots\cdots2$，余数 $r = 2$。
3. 对应循环中的第2个数字：9。
4. 所以 $7^{50}$ 的个位数字是 9。

• 误认为所有数字的循环周期都一样：实际上0、1、5、6周期为1，4和9周期为2，2、3、7、8周期为4。应先确认具体数字的循环规律。
• 余数为0时处理错误：当 $n \bmod T = 0$ 时，应取循环的最后一个数（即第 $T$ 项），而不是第0项。例如 $2^4$，$4 \bmod 4 = 0$，应取第4项“6”，不是“2”。
• 忽略底数只看个位：计算 $123^{10}$ 的尾数时，只需看个位“3”的幂次规律，不必考虑前面的数字。
• 混淆指数与循环位置：循环是从 $n=1$ 开始的，不要从 $n=0$ 算起（初中阶段一般不涉及 $a^0$ 的讨论）。
• 死记硬背不出规律：建议学生自己动手列前几项，观察并总结循环，比单纯记忆更可靠。