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截长补短法是解决涉及线段和、差关系（如 $AB = AC + CD$ ）的几何证明问题的一种常用辅助线方法，属于全等三角形应用的重要技巧。

例如，若需证明 $AB = AC + CD$ ，可考虑：

关键在于通过添加辅助线，将“线段和差”转化为“线段相等”，进而借助全等三角形的性质完成证明。此方法常用于含角平分线、等腰三角形或特殊角度（如 $60^\circ$ 、 $90^\circ$ ）的几何题中。

全等三角形判定定理（SAS）：若两边及其夹角分别相等，则两三角形全等。
示例：在 $\triangle ABC$ 与 $\triangle DEF$ 中，若 $AB = DE$ ， $\angle B = \angle E$ ， $BC = EF$ ，则 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 。
全等三角形判定定理（ASA）：若两角及其夹边分别相等，则两三角形全等。
示例：若 $\angle A = \angle D$ ， $AB = DE$ ， $\angle B = \angle E$ ，则 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 。
线段和差转化原则：要证 $AB = AC + CD$ ，可通过截长或补短构造新线段，使问题转化为证明两个三角形全等。

例题1（基础）：已知 $\triangle ABC$ 中， $\angle B = 2\angle C$ ， $AD$ 是角平分线，且 $AB = BD$ 。求证： $AC = AB + BD$ 。

解题过程：

因为 $AB = BD$ ，所以只需证 $AC = AB + AB = 2AB$ 不成立，应重新理解目标：实际要证 $AC = AB + DC$ （题目可能有误），但按常规思路采用补短法。
更合理的题设应为：在 $\triangle ABC$ 中， $\angle BAC = 60^\circ$ ， $\angle ABC = 2\angle ACB$ ， $AD$ 平分 $\angle BAC$ ，交 $BC$ 于 $D$ ，且 $AB = BD$ ，求证： $AC = AB + CD$ 。
正确解法（补短）：延长 $AB$ 至点 $E$ ，使 $BE = CD$ ，连接 $DE$ 。
由 $AB = BD$ 得 $\angle BAD = \angle BDA$ ，又 $AD$ 平分 $\angle BAC = 60^\circ$ ，故 $\angle BAD = 30^\circ$ ，所以 $\angle ABD = 120^\circ$ ，进而 $\angle DBC = 60^\circ$ 。
可证 $\triangle ADC \cong \triangle ADE$ （SAS），从而 $AC = AE = AB + BE = AB + CD$ 。

例题2（进阶）：如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $BC$ 上，点 $F$ 在边 $CD$ 上，且 $\angle EAF = 45^\circ$ 。求证： $EF = BE + DF$ 。

解题过程：

目标为证 $EF = BE + DF$ ，符合“线段和”形式，考虑补短法。
延长 $CB$ 至点 $G$ ，使 $BG = DF$ ，连接 $AG$ 。
在正方形中， $AB = AD$ ， $\angle ABG = \angle ADF = 90^\circ$ ，又 $BG = DF$ ，故 $\triangle ABG \cong \triangle ADF$ （SAS）。
所以 $\angle BAG = \angle DAF$ ，且 $AG = AF$ 。
因为 $\angle BAD = 90^\circ$ ， $\angle EAF = 45^\circ$ ，所以 $\angle BAE + \angle DAF = 45^\circ$ ，即 $\angle BAE + \angle BAG = 45^\circ$ ，故 $\angle EAG = 45^\circ = \angle EAF$ 。
在 $\triangle AEG$ 与 $\triangle AEF$ 中， $AG = AF$ ， $\angle EAG = \angle EAF$ ， $AE = AE$ ，故 $\triangle AEG \cong \triangle AEF$ （SAS）。
所以 $EF = EG = EB + BG = EB + DF$ ，得证。