分式方程是指含有分式的方程，其中未知数出现在分母中。在工程问题和行程问题中，我们常利用“工作总量 = 工作效率 × 工作时间”或“路程 = 速度 × 时间”的关系建立等量关系。

工程问题：通常设总工程量为1（即单位“1”），若甲单独完成需 $a$ 天，则其工作效率为 $\frac{1}{a}$；乙单独完成需 $b$ 天，效率为 $\frac{1}{b}$。两人合作时，总效率为 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$，合作完成所需时间为 $t$，则满足方程：

行程问题：若已知往返路程相同但速度不同，可设单程距离为 $s$，去时速度为 $v_1$，回时速度为 $v_2$，则总时间为 $\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}$。当题目给出平均速度或总时间时，可据此列出分式方程。

解分式方程的关键步骤是：① 设未知数；② 找等量关系列方程；③ 去分母化为整式方程；④ 解整式方程；⑤ 检验（特别注意是否使原方程分母为0，或不符合实际意义）。

• 工作效率公式：工作效率 = $\frac{1}{\text{单独完成所需时间}}$。例如：某人6天完成一项工作，效率为 $\frac{1}{6}$。
• 合作工作量公式：$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})t = 1$。例如：甲4天完成，乙6天完成，合作时间 $t$ 满足 $(\frac{1}{4} + \frac{1}{6})t = 1$。
• 行程时间公式：时间 = $\frac{\text{路程}}{\text{速度}}$。例如：走10 km，速度5 km/h，用时 $\frac{10}{5} = 2$ 小时。
• 平均速度（往返）：若往返路程均为 $s$，速度分别为 $v_1, v_2$，则平均速度为 $\frac{2s}{\frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$。

例题1（工程问题）：甲、乙两人合作完成一项工程需6天。若甲单独做比乙少用5天，问甲、乙单独完成各需几天？

解：

1. 设乙单独完成需 $x$ 天，则甲需 $(x - 5)$ 天。
2. 甲效率为 $\frac{1}{x - 5}$，乙效率为 $\frac{1}{x}$。
3. 合作6天完成，列方程：

4. 去分母（两边乘 $x(x - 5)$）：

化简得：$12x - 30 = x^2 - 5x$ → $x^2 - 17x + 30 = 0$ 5. 解得 $x = 15$ 或 $x = 2$。但 $x = 2$ 时，甲需 $-3$ 天（不合理），舍去。 6. 答：乙需15天，甲需10天。

例题2（行程问题）：小明骑车去学校，去时速度为15 km/h，回家时因逆风速度降为10 km/h，往返共用1小时。求他家到学校的距离。

解：

1. 设单程距离为 $x$ km。
2. 去时时间：$\frac{x}{15}$ 小时，回时时间：$\frac{x}{10}$ 小时。
3. 列方程：

4. 通分（最小公倍数30）：

5. 检验：$x = 6 > 0$，合理。
6. 答：家到学校距离为6 km。

• 忘记检验解的合理性：分式方程可能产生使分母为0的根，或不符合实际（如时间为负），必须代入原方程和实际情境双重检验。
• 设未知数不当：例如在工程问题中直接设“甲的工作量”而非“时间”，导致无法建立正确关系。应优先设时间为未知数。
• 混淆效率与时间：误将“6天完成”当作效率6，正确应为效率 $\frac{1}{6}$。
• 去分母时漏乘：两边同乘最简公分母时，常数项也要乘，否则方程变形错误。
• 行程问题中忽略单位统一：如速度用km/h，时间用分钟，未换算导致计算错误。应统一单位后再列式。