平行四边形是两组对边分别平行的四边形。根据这个定义，我们可以推导出它的三个重要性质：

1. 对边相等：在平行四边形 $ABCD$ 中，有 $AB = CD$ 且 $AD = BC$。
2. 对角相等：即 $\angle A = \angle C$，$\angle B = \angle D$。
3. 对角线互相平分：连接对角顶点的两条对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，则 $AO = OC$，$BO = OD$。

这些性质可以通过全等三角形来证明。例如，利用“两直线平行，内错角相等”可以证明 $\triangle ABC \cong \triangle CDA$，从而得出对边相等、对角相等；再通过三角形全等可证对角线被交点平分。这些性质不仅帮助我们识别平行四边形，还能用于计算边长、角度或证明其他几何关系。

• 对边相等：若四边形 $ABCD$ 是平行四边形，则 $AB = CD$，$AD = BC$。
  • 示例：已知 $AB = 5\,\text{cm}$，则 $CD = 5\,\text{cm}$。
• 对角相等：$\angle A = \angle C$，$\angle B = \angle D$。
  • 示例：若 $\angle A = 70^\circ$，则 $\angle C = 70^\circ$。
• 对角线互相平分：设对角线交于点 $O$，则 $AO = OC$，$BO = OD$。
  • 示例：若 $AC = 10\,\text{cm}$，则 $AO = OC = 5\,\text{cm}$。

例题1：在平行四边形 $ABCD$ 中，已知 $AB = 6\,\text{cm}$，$\angle B = 110^\circ$，求 $CD$ 的长度和 $\angle D$ 的度数。

解：

1. 因为平行四边形对边相等，所以 $CD = AB = 6\,\text{cm}$。
2. 因为平行四边形对角相等，所以 $\angle D = \angle B = 110^\circ$。

答：$CD = 6\,\text{cm}$，$\angle D = 110^\circ$。

例题2：平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$。已知 $AO = 4\,\text{cm}$，$BO = 3\,\text{cm}$，求对角线 $AC$ 和 $BD$ 的长度。

解：

1. 根据平行四边形对角线互相平分的性质，有 $AO = OC = 4\,\text{cm}$，所以 $AC = AO + OC = 4 + 4 = 8\,\text{cm}$。
2. 同理，$BO = OD = 3\,\text{cm}$，所以 $BD = BO + OD = 3 + 3 = 6\,\text{cm}$。

答：$AC = 8\,\text{cm}$，$BD = 6\,\text{cm}$。

• 误认为邻角相等：平行四边形中只有对角相等，邻角互补（和为 $180^\circ$）。应记住：相邻两个角加起来是平角。
• 混淆对角线性质：误以为对角线相等。实际上，一般平行四边形的对角线不相等（除非是矩形）。正确性质是对角线互相平分。
• 忽略前提条件：使用性质前必须确认图形确实是平行四边形。不能仅凭一组对边相等就断定是平行四边形。
• 计算对角线长度时忘记乘2：已知一半长度（如 $AO = 5$），求整条对角线时应写 $AC = 2 \times AO = 10$，不要漏掉乘2。