正方形是一种特殊的平行四边形，它同时具备矩形和菱形的所有性质。定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

性质：

1. 边：四条边都相等，对边平行。
2. 角：四个角都是直角（$90^\circ$）。
3. 对角线：两条对角线相等、互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。若边长为 $a$，则对角线长为 $a\sqrt{2}$。

与其他图形的关系：

• 正方形是特殊的矩形（所有角为直角）；
• 正方形也是特殊的菱形（四边相等）；
• 因此，正方形具有矩形和菱形的所有性质。

判定方法（满足任一即可）：

1. 有一组邻边相等的矩形是正方形；
2. 有一个角是直角的菱形是正方形；
3. 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。

• 对角线长度公式：若正方形边长为 $a$，则对角线长 $d = a\sqrt{2}$。例如，边长为 3，则对角线为 $3\sqrt{2}$。
• 面积公式：面积 $S = a^2$ 或 $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$（因为对角线相等且垂直，也可用菱形面积公式）。例如，边长为 4，面积为 $4^2 = 16$。
• 周长公式：周长 $C = 4a$。例如，边长为 5，周长为 $4 \times 5 = 20$。

例题1：已知正方形 $ABCD$ 的边长为 6 cm，求其对角线长和面积。

解：

1. 对角线长 $d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ cm。
2. 面积 $S = a^2 = 6^2 = 36$ cm²。 答：对角线长为 $6\sqrt{2}$ cm，面积为 36 cm²。

例题2：在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相等且互相垂直。证明：四边形 $ABCD$ 是正方形。

解：

1. 已知 $ABCD$ 是平行四边形，且对角线 $AC = BD$ → 根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形。
2. 又已知对角线 $AC \perp BD$ → 根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3. 所以该四边形既是矩形又是菱形 → 必为正方形。 答：四边形 $ABCD$ 是正方形。

• 混淆判定条件：误认为“四边相等的四边形就是正方形”——实际上还可能是菱形（需加一个直角条件）。避免方法：牢记正方形必须同时满足“四边相等”和“四个角为直角”。
• 忽略前提：在使用“对角线相等且垂直 ⇒ 正方形”时，忘记前提是“平行四边形”。避免方法：先确认图形是平行四边形再用此判定。
• 计算对角线错误：误用勾股定理写成 $d = 2a$。正确应为 $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$。建议画图辅助理解。
• 性质套用混乱：把矩形或菱形的性质直接当成正方形独有。应理解正方形是它们的“交集”，兼具两者性质。