完全平方公式是整式乘法中的重要公式，用于快速计算两个数和或差的平方。它有两个基本形式：

1. 和的完全平方：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. 差的完全平方：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

这两个公式告诉我们：一个二项式的平方，等于首项的平方，加上（或减去）两倍的首项与末项的乘积，再加上末项的平方。

例如，$(x + 3)^2$ 展开后不是 $x^2 + 9$，而是 $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$。这是因为中间的“交叉项” $2ab$ 很关键，不能遗漏。

反过来，当我们看到形如 $a^2 \pm 2ab + b^2$ 的三项式时，也可以用完全平方公式将其写成 $(a \pm b)^2$，这就是因式分解的应用。

掌握这个公式，不仅能加快计算速度，还能为后续学习配方法、解一元二次方程等打下基础。

• 和的完全平方：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  示例：$(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$

• 差的完全平方：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
  示例：$(y - 5)^2 = y^2 - 10y + 25$

例题1（基础）：展开 $(3x + 4)^2$。

解：

1. 识别公式类型：这是 $(a + b)^2$ 的形式，其中 $a = 3x$，$b = 4$。
2. 应用公式：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
3. 计算各项：
   • $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$
   • $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 4 = 24x$
   • $b^2 = 4^2 = 16$
4. 合并结果：$(3x + 4)^2 = 9x^2 + 24x + 16$。

例题2（进阶）：将 $x^2 - 12x + 36$ 因式分解。

解：

1. 观察三项式：首项 $x^2$ 是平方项，末项 $36 = 6^2$ 也是平方项，中间项 $-12x$ 是否等于 $\pm 2 \cdot x \cdot 6$？
2. 验证：$2 \cdot x \cdot 6 = 12x$，而中间项是 $-12x$，说明是差的完全平方。
3. 对照公式：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，这里 $a = x$，$b = 6$。
4. 写出结果：$x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$。

• 漏掉中间项：误以为 $(a + b)^2 = a^2 + b^2$。正确应包含 $2ab$。记住口诀：“首平方，尾平方，积的两倍在中央”。

• 符号错误：在 $(a - b)^2$ 中，中间项应为负号，但常被写成正号。注意：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，不是 $a^2 + 2ab + b^2$。

• 系数处理错误：如 $(2x + 3)^2$，有人会算成 $2x^2 + 12x + 9$。正确做法是 $(2x)^2 = 4x^2$，所以结果是 $4x^2 + 12x + 9$。

• 混淆平方与乘法：把 $(a + b)^2$ 当作 $a^2 + b^2$ 或 $2(a + b)$。可通过具体数字验证，比如 $(2 + 3)^2 = 25$，而 $2^2 + 3^2 = 13$，明显不同。