等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。由于三边相等，它的三个内角也必然相等。我们知道任意三角形的内角和为 $180^\circ$，因此等边三角形的每个内角都是 $\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$。

等边三角形具有高度对称性：它既是轴对称图形（有3条对称轴，每条对称轴都经过一个顶点和对边中点），也是中心对称图形（绕中心旋转 $120^\circ$ 后与原图重合）。

等边三角形的高、中线、角平分线“三线合一”——从任一顶点向对边作垂线，这条线段同时也是该边的中线和该角的角平分线。

判断一个三角形是否为等边三角形，常用以下方法：

1. 三边相等；
2. 三个角都是 $60^\circ$；
3. 是等腰三角形且有一个角是 $60^\circ$（此时另外两个角也必为 $60^\circ$）。

• 边角关系：若 $AB = BC = CA$，则 $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$。
  • 示例：已知 $\triangle ABC$ 中 $AB = BC = CA = 5\,\text{cm}$，则每个角都是 $60^\circ$。
• 高公式：等边三角形边长为 $a$，则高 $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。
  • 示例：边长为 $4\,\text{cm}$ 的等边三角形，高为 $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3}\,\text{cm}$。
• 面积公式：面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
  • 示例：边长为 $6\,\text{cm}$ 的等边三角形，面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = 9\sqrt{3}\,\text{cm}^2$。

例题1：已知 $\triangle ABC$ 是等边三角形，边长为 $8\,\text{cm}$，求它的高和面积。

解：

1. 根据高公式，高 $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4\sqrt{3}\,\text{cm}$。
2. 面积 $S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\,\text{cm}^2$。 或直接用面积公式：$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 16\sqrt{3}\,\text{cm}^2$。

例题2：在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，且 $\angle A = 60^\circ$。证明 $\triangle ABC$ 是等边三角形。

解：

1. 因为 $AB = AC$，所以 $\triangle ABC$ 是等腰三角形，故 $\angle B = \angle C$。
2. 三角形内角和为 $180^\circ$，所以 $\angle B + \angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$。
3. 又因 $\angle B = \angle C$，所以 $\angle B = \angle C = 60^\circ$。
4. 三个角都是 $60^\circ$，因此 $\triangle ABC$ 是等边三角形。

• 误认为只要有两个角是 $60^\circ$ 就不是等边三角形：实际上，若有两个角是 $60^\circ$，第三个角必为 $60^\circ$，仍是等边三角形。
• 混淆等边与等腰：等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。注意题目条件是否足够推出“三边相等”。
• 计算高或面积时忘记 $\sqrt{3}$：例如把高写成 $\frac{a}{2}$ 而不是 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$。建议记住推导过程：由勾股定理，$h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。
• 判定时忽略“有一个角是 $60^\circ$ 的等腰三角形是等边三角形”这一重要结论：这是常用的间接判定方法，应熟练掌握。