1. 要使这个函数有水平渐近线，当$x$趋向无穷大时，函数值不能趋向无穷大。
2. 这只有在分子的次数不大于分母的次数时才可能成立。
3. 已知分母的次数是5，因此$q(x)$的最高可能次数是$\boxed{5}.$。
4. 注意：5确实是可行的。例如，取$q(x) = x^5,$，则该有理函数的水平渐近线为$y = \frac 12.$。

我们知道：如果一个系数为有理数的多项式有一个无理根$a + \sqrt{b}$，那么它的根式共轭$a - \sqrt{b},$也一定是这个多项式的根。

对所有$n = 1, 2, \ldots, 1000,$，数$n + \sqrt{n+1}$都是该多项式的根，因此每个无理根都必须配一个对应的共轭根，这样共得$2 \cdot 1000 = 2000$个根。但并不是所有$n + \sqrt{n+1}$都是无理数：当$n+1$是完全平方数时，【MATH_3】是有理数（实际上为整数），它没有根式共轭。

使得$n+1$为完全平方数的$n$共有$30$个，因为$n+1$可以取完全平方数$2^2, 3^2, \ldots, 31^2.$中的任意一个。因此，我们从初始计数中减去$30,$，得到该多项式至少要有$2000 - 30 = 1970$个根。而多项式的根的个数等于其次数，所以该多项式的最小可能次数是$\boxed{1970}.$。