方程组应用题-利润

📘 二元一次方程组·
⭐⭐⭐
·利润计算、方程建立

🎯 学习目标

  • 理解利润、成本、售价之间的关系
  • 能根据实际问题设未知数并列出二元一次方程组
  • 掌握解二元一次方程组求解利润相关应用题的方法

📚 核心概念

在商品销售中，利润是指卖出商品后获得的收益减去成本。基本关系式为：

利润=售价−成本\text{利润} = \text{售价} - \text{成本}

如果知道利润率（即利润占成本的百分比），则有：

利润=成本×利润率\text{利润} = \text{成本} \times \text{利润率}

或者

售价=成本×(1+利润率)\text{售价} = \text{成本} \times (1 + \text{利润率})

在二元一次方程组的应用题中，通常涉及两种商品或两次交易，每种情况都有自己的成本、售价和利润。我们需要设两个未知数（如两种商品的成本或数量），根据题目给出的总利润、总成本或总售价等条件，列出两个独立的方程，组成方程组求解。

例如，某商店卖出甲、乙两种商品，已知它们各自的利润率和总利润，就可以设甲、乙的成本分别为 xx 元和 yy 元，再根据利润公式分别写出两个方程，从而解出 xx 和 yy。

📝 关键公式

  • 利润公式：利润=售价−成本\text{利润} = \text{售价} - \text{成本}
    • 示例：一件衣服成本80元，卖100元，则利润为 100−80=20100 - 80 = 20 元。
  • 售价与利润率关系：售价=成本×(1+利润率)\text{售价} = \text{成本} \times (1 + \text{利润率})
    • 示例：成本50元，利润率20%，则售价为 50×(1+0.2)=6050 \times (1 + 0.2) = 60 元。
  • 总利润公式（两种商品）：总利润=利润1+利润2\text{总利润} = \text{利润}_1 + \text{利润}_2
    • 示例：甲利润30元，乙利润40元，则总利润为70元。

💡 经典例题

例题1（基础）： 某商店购进A、B两种商品共花费1000元。A商品按20%的利润率卖出，B商品按30%的利润率卖出，全部售出后共获利260元。求A、B两种商品的成本各是多少元？

解题步骤：

  1. 设A商品成本为 xx 元，B商品成本为 yy 元。
  2. 根据总成本得第一个方程：x+y=1000x + y = 1000。
  3. A的利润为 0.2x0.2x，B的利润为 0.3y0.3y，总利润为260元，得第二个方程：0.2x+0.3y=2600.2x + 0.3y = 260。
  4. 解方程组：
    • 由第一式得 y=1000−xy = 1000 - x；
    • 代入第二式：0.2x+0.3(1000−x)=2600.2x + 0.3(1000 - x) = 260；
    • 化简：0.2x+300−0.3x=260⇒−0.1x=−40⇒x=4000.2x + 300 - 0.3x = 260 \Rightarrow -0.1x = -40 \Rightarrow x = 400；
    • 则 y=1000−400=600y = 1000 - 400 = 600。
  5. 答：A商品成本400元，B商品成本600元。

例题2（进阶）： 某文具店卖出钢笔和笔记本共50件，其中钢笔每支进价10元，售价15元；笔记本每本进价8元，售价12元。这次销售共获利220元。问钢笔和笔记本各卖出多少件？

解题步骤：

  1. 设卖出钢笔 xx 支，笔记本 yy 本。
  2. 总件数：x+y=50x + y = 50。
  3. 钢笔每支利润 15−10=515 - 10 = 5 元，笔记本每本利润 12−8=412 - 8 = 4 元，总利润：5x+4y=2205x + 4y = 220。
  4. 解方程组：
    • 由第一式得 y=50−xy = 50 - x；
    • 代入第二式：5x+4(50−x)=2205x + 4(50 - x) = 220；
    • 化简：5x+200−4x=220⇒x=205x + 200 - 4x = 220 \Rightarrow x = 20；
    • 则 y=50−20=30y = 50 - 20 = 30。
  5. 答：卖出钢笔20支，笔记本30本。

⚠️ 易错点

  • 混淆利润与利润率：利润是具体金额，利润率是百分比。避免方法：看清题目问的是“利润”还是“利润率”，并在公式中正确使用。
  • 设错未知数：有时学生设的是售价而非成本，导致方程列错。建议统一设“成本”或“数量”为未知数，根据题意选择最直接的量。
  • 忽略单位一致性：如利润率用百分数（20%）但计算时未化为小数（0.2）。避免方法：统一将百分数转化为小数参与运算。
  • 方程重复或矛盾：两个方程必须独立。检查是否从不同角度（如总成本和总利润）列式，避免用同一信息列两个相似方程。

💡 例题

1

一场展览的儿童门票价格为 \25peradultandper adult and$12元/人。上周二，展览共收入元/人。上周二，展览共收入 $1950inadmissionfeesfromatleastoneadultandatleastonechild.OfallthepossibleratiosofadultstochildrenattheexhibitionlastTuesday,whichoneisclosesttoin admission fees from at least one adult and at least one child. Of all the possible ratios of adults to children at the exhibition last Tuesday, which one is closest to元。成人票与儿童票的数量比最接近1时，这个比是多少？

设aa为成人人数，cc为儿童人数。则有 25a+12c=1950=25×78.25a + 12c = 1950 = 25 \times 78.整理得 a=78−12c25. a = 78 - \frac{12c}{25} .因为成人人数必须是整数，所以cc是25的倍数。

我们希望成人与儿童人数之比尽量接近1，即 ac=78c−1225\frac{a}{c} = \frac{78}{c} - \frac{12}{25}若ac=1\frac{a}{c} = 1，则78c−1225=1\frac{78}{c} - \frac{12}{25} = 1，即78c=3725\frac{78}{c} = \frac{37}{25}。换言之，c=78⋅2537c = \frac{78 \cdot 25}{37}。

最接近这个值的25的倍数是50，因此cc应为50。于是a=78−12⋅5025=54a = 78 - \frac{12 \cdot 50}{25} = 54。所以，最接近1的成人与儿童人数之比是5450=2725.\frac{54}{50} = \boxed{\frac{27}{25}}.

2

一场展览的儿童门票价格为 \25peradultandper adult and $12元/人。上周二，展览共收入元/人。上周二，展览共收入 $1950inadmissionfeesfromatleastoneadultandatleastonechild.OfallthepossibleratiosofadultstochildrenattheexhibitionlastTuesday,whichoneisclosesttoin admission fees from at least one adult and at least one child. Of all the possible ratios of adults to children at the exhibition last Tuesday, which one is closest to元。小明、小华和小红想知道：成人与儿童人数之比最接近1时，这个比是多少？

  1. 设成人人数为aa，儿童人数为cc。则有 25a+12c=1950=25×78.25a + 12c = 1950 = 25 \times 78.
  2. 整理得 a=78−12c25. a = 78 - \frac{12c}{25} .
  3. 因为成人人数必须是整数，所以cc是25的倍数。
  4. 我们希望成人与儿童人数之比ac=78c−1225\frac{a}{c} = \frac{78}{c} - \frac{12}{25}尽可能接近1。
  5. 若ac=1\frac{a}{c} = 1，则78c−1225=1\frac{78}{c} - \frac{12}{25} = 1，即78c=3725\frac{78}{c} = \frac{37}{25}。换句话说，c=78⋅2537c = \frac{78 \cdot 25}{37}。
  6. 最接近这个值的25的倍数是50，因此cc为50。
  7. 此时，a=78−12⋅5025=54a = 78 - \frac{12 \cdot 50}{25} = 54。
  8. 所以，成人与儿童人数之比最接近1的是5450=2725.\frac{54}{50} = \boxed{\frac{27}{25}}.