在一组数据中，中位数是将所有数据按大小顺序排列后，处于中间位置的那个数。如果数据个数是奇数，中位数就是正中间的那个数；如果是偶数，则中位数是中间两个数的平均值。例如，数据集 $1, 3, 5$ 的中位数是 $3$；而 $2, 4, 6, 8$ 的中位数是 $(4+6)/2 = 5$。

众数是一组数据中出现次数最多的数。一组数据可能有一个众数（单峰）、多个众数（多峰），也可能没有众数（所有数据出现次数相同）。例如，数据集 $2, 3, 3, 4$ 的众数是 $3$；而 $1, 2, 2, 3, 3$ 有两个众数：$2$ 和 $3$；数据 $5, 6, 7$ 则没有众数。

中位数和众数都是描述数据“集中趋势”的统计量，与平均数一起帮助我们了解数据的整体情况。中位数不受极端值影响，适合描述偏态分布的数据；众数则反映最常见的数值，常用于分类数据。

• 中位数（Median）：

  • 若数据个数 $n$ 为奇数：中位数是第 $\frac{n+1}{2}$ 个数。 示例：数据 $[1, 2, 3]$，$n=3$，中位数是第 $2$ 个数，即 $2$。
  • 若 $n$ 为偶数：中位数是第 $\frac{n}{2}$ 个与第 $\frac{n}{2}+1$ 个数的平均值。 示例：数据 $[1, 2, 4, 6]$，$n=4$，中位数是 $(2+4)/2 = 3$。

• 众数（Mode）：出现频次最高的数值。 示例：数据 $[5, 5, 6, 7, 7, 7]$，众数是 $7$（出现3次）。

例题1（基础）：求数据集 $3, 7, 1, 9, 4$ 的中位数和众数。

解：

1. 先排序：$1, 3, 4, 7, 9$。
2. 数据个数 $n=5$（奇数），中位数是第 $\frac{5+1}{2}=3$ 个数，即 $4$。
3. 每个数都只出现1次，因此没有众数。

答：中位数是 $4$，没有众数。

例题2（进阶）：某班8名学生一周阅读时间（小时）为：$2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6$。求中位数和众数，并说明哪个更能代表“典型”阅读时间。

解：

1. 数据已排序，$n=8$（偶数）。
2. 中位数是第 $4$ 和第 $5$ 个数的平均值：$(4 + 5)/2 = 4.5$。
3. 各数出现次数：$2$(1次)，$3$(2次)，$4$(1次)，$5$(3次)，$6$(1次)。出现最多的是 $5$，所以众数是 $5$。
4. 因为 $5$ 是最常出现的时间，更能代表“典型”情况，所以众数更合适。

答：中位数是 $4.5$，众数是 $5$；众数更能代表典型阅读时间。

• 忘记排序就找中位数：中位数必须在数据从小到大排列后才能确定。解决方法：先排序再找中间位置。
• 误以为众数一定存在：当所有数据出现次数相同时，没有众数。要检查每个数值的频次。
• 混淆中位数位置公式：奇数个数据时是第 $(n+1)/2$ 个，不是 $n/2$。建议用具体例子验证。
• 多个众数时只写一个：如数据 $1,2,2,3,3$ 有两个众数 $2$ 和 $3$，不能遗漏。
• 把平均数当成中位数或众数：三者意义不同，需根据问题要求选择合适的统计量。