一次函数是形如 $y = kx + b$（其中 $k$ 和 $b$ 是常数，且 $k \neq 0$）的函数。它的图像是一条直线。

• 斜率 $k$：表示直线的倾斜程度。当 $k > 0$ 时，直线从左下向右上倾斜，函数值随 $x$ 增大而增大（增函数）；当 $k < 0$ 时，直线从左上向右下倾斜，函数值随 $x$ 增大而减小（减函数）。斜率也可以理解为“上升量 ÷ 水平移动量”，即每向右走1个单位，$y$ 值变化 $k$ 个单位。

• 截距 $b$：是直线与 $y$ 轴交点的纵坐标，称为**$y$ 轴截距**。当 $x = 0$ 时，$y = b$，所以图像一定经过点 $(0, b)$。

特别地，当 $b = 0$ 时，函数变为 $y = kx$，图像经过原点，称为正比例函数。

通过确定两个点（例如 $(0, b)$ 和 $(1, k + b)$），就可以准确画出这条直线。

• 一次函数标准式：$y = kx + b$

  • 示例：$y = 2x + 3$，其中斜率 $k = 2$，截距 $b = 3$。

• 斜率公式（两点间）：若直线过点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，则 $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

  • 示例：过点 $(1, 3)$ 和 $(2, 5)$，则 $k = \dfrac{5 - 3}{2 - 1} = 2$。

• $y$ 轴截距：令 $x = 0$，得 $y = b$

  • 示例：在 $y = -x + 4$ 中，截距为 $4$，图像过点 $(0, 4)$。

例题1：画出函数 $y = \dfrac{1}{2}x - 1$ 的图像。

解：

1. 确定截距：当 $x = 0$ 时，$y = -1$，所以图像过点 $(0, -1)$。
2. 利用斜率找第二点：斜率 $k = \dfrac{1}{2}$，表示向右走2个单位，向上走1个单位。从 $(0, -1)$ 出发，得到第二点 $(2, 0)$。
3. 连接这两点，画出直线即可。

例题2：已知一次函数图像经过点 $(0, 2)$ 和 $(3, -1)$，求该函数的表达式。

解：

1. 因为过点 $(0, 2)$，所以 $y$ 轴截距 $b = 2$。
2. 计算斜率：$k = \dfrac{-1 - 2}{3 - 0} = \dfrac{-3}{3} = -1$。
3. 代入标准式：$y = kx + b = -x + 2$。
4. 所以函数表达式为 $y = -x + 2$。

• 混淆斜率正负：误以为 $k < 0$ 时图像上升。应记住：$k > 0$ 上升，$k < 0$ 下降。

• 忽略截距位置：把截距 $b$ 当作与 $x$ 轴的交点。正确理解：$b$ 是 $x = 0$ 时的 $y$ 值，对应点 $(0, b)$。

• 画图只取一个点：仅凭截距画图容易出错。应至少找两个点（如 $(0, b)$ 和 $(1, k+b)$）再连线。

• 斜率计算顺序颠倒：用 $\dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ 代替正确公式。记住：斜率 = “纵变 ÷ 横变” = $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$。

• 忘记 $k = 0$ 不是一次函数：当 $k = 0$ 时，$y = b$ 是常函数，图像为水平线，不属于一次函数（初中阶段通常要求 $k \neq 0$）。