一次函数的一般形式为 $y = kx + b$（其中 $k \neq 0$，$k$ 和 $b$ 是常数）。它的图像是一条直线。

增减性：由斜率 $k$ 决定。

• 当 $k > 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，函数图像从左下向右上倾斜，称为“增函数”。
• 当 $k < 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，函数图像从左上向右下倾斜，称为“减函数”。

图像经过的象限：由 $k$ 和 $b$ 共同决定。

• 若 $k > 0$ 且 $b > 0$：图像过第一、二、三象限；
• 若 $k > 0$ 且 $b < 0$：图像过第一、三、四象限；
• 若 $k < 0$ 且 $b > 0$：图像过第一、二、四象限；
• 若 $k < 0$ 且 $b < 0$：图像过第二、三、四象限。

特别地，当 $b = 0$ 时，图像过原点，只经过两个象限（一、三或二、四）。

• 一次函数表达式：$y = kx + b$（$k \neq 0$）

  • 示例：$y = 2x - 3$ 中，$k = 2$，$b = -3$

• 增减性判断：

  • 若 $k > 0$，函数递增；若 $k < 0$，函数递减
  • 示例：$y = -\frac{1}{2}x + 1$ 中，$k = -\frac{1}{2} < 0$，所以函数递减

• 象限判断规则（结合 $k$ 和 $b$ 的符号）：

  • 示例：$y = -x - 2$，$k < 0$，$b < 0$ → 图像过第二、三、四象限

例题1：判断函数 $y = 3x + 1$ 的增减性，并说明其图像经过哪几个象限。

解：

1. 看斜率 $k = 3 > 0$，所以 $y$ 随 $x$ 增大而增大，是增函数。
2. 截距 $b = 1 > 0$。
3. 因为 $k > 0$ 且 $b > 0$，所以图像经过第一、二、三象限。

例题2：已知一次函数 $y = kx + b$ 的图像经过第二、三、四象限，判断 $k$ 和 $b$ 的符号。

解：

1. 图像不过第一象限，说明整体向下倾斜 → $k < 0$。
2. 图像与 $y$ 轴交点在负半轴（因为过第三、四象限，不过第一象限），所以 $b < 0$。
3. 验证：当 $k < 0$ 且 $b < 0$ 时，图像确实经过第二、三、四象限。
4. 结论：$k < 0$，$b < 0$。

• 混淆增减性与 $b$ 的关系：误以为 $b$ 越大函数越“上升”。实际上增减性只由 $k$ 决定，与 $b$ 无关。记住：“看斜率定增减”。

• 忽略 $b = 0$ 的特殊情况：当 $b = 0$ 时，图像过原点，只经过两个象限（如 $y = 2x$ 过一、三象限），不要错误地说成三个象限。

• 记错象限组合：建议画草图辅助记忆。例如 $k > 0, b < 0$ 时，直线从第三象限穿过原点下方进入第一象限，所以过一、三、四象限。

• 把“经过象限”和“不经过象限”搞反：可先确定与坐标轴的交点（令 $x=0$ 得 $y=b$；令 $y=0$ 得 $x=-\frac{b}{k}$），再判断位置。