正比例函数是一次函数中最简单的一种，它的形式为 $y = kx$，其中 $k$ 是常数且 $k \neq 0$。这里的 $k$ 叫做比例系数。

正比例函数有两个关键特征：

1. 自变量 $x$ 和因变量 $y$ 的比值恒定，即 $\frac{y}{x} = k$（当 $x \neq 0$ 时）；
2. 图像是一条经过坐标原点 $(0, 0)$ 的直线。

当 $k > 0$ 时，函数图像从左下向右上延伸，$y$ 随 $x$ 增大而增大（正比例增长）；当 $k < 0$ 时，图像从左上向右下延伸，$y$ 随 $x$ 增大而减小（负比例变化）。

例如，汽车以每小时60千米匀速行驶，路程 $s$（千米）与时间 $t$（小时）的关系为 $s = 60t$，这就是一个正比例函数，比例系数 $k = 60$。

• 正比例函数表达式：$y = kx$（$k \neq 0$）
  • 示例：$y = 3x$，其中 $k = 3$
• 比例关系式：$\frac{y}{x} = k$（$x \neq 0$）
  • 示例：若 $y = -2x$，则 $\frac{y}{x} = -2$
• 图像过原点：当 $x = 0$ 时，$y = k \cdot 0 = 0$，所以图像必过点 $(0, 0)$
  • 示例：$y = \frac{1}{2}x$ 的图像经过原点

例题1：判断下列函数是否为正比例函数，并说明理由。 （1）$y = 5x$；（2）$y = x + 2$；（3）$y = -\frac{2}{3}x$

解答： （1）是。因为符合 $y = kx$ 形式，$k = 5 \neq 0$。 （2）不是。因为含有常数项“+2”，不符合 $y = kx$ 的形式。 （3）是。因为可写成 $y = kx$，其中 $k = -\frac{2}{3} \neq 0$。

例题2：已知正比例函数的图像经过点 $(2, -6)$，求这个函数的表达式，并画出它的图像。

解答： 设函数表达式为 $y = kx$。 将点 $(2, -6)$ 代入：$-6 = k \cdot 2$，解得 $k = -3$。 所以函数表达式为 $y = -3x$。

画图步骤：

1. 确定两个点：原点 $(0, 0)$ 和已知点 $(2, -6)$；
2. 在坐标系中描出这两点；
3. 用直尺连接两点并延长，得到一条过原点、从左上到右下的直线。

• 误认为所有一次函数都是正比例函数：只有形如 $y = kx$（无常数项）的才叫正比例函数，如 $y = 2x + 1$ 不是。
• 忽略 $k \neq 0$ 的条件：若 $k = 0$，则 $y = 0$ 是常函数，不是正比例函数。
• 画图时不经过原点：正比例函数图像必须过 $(0, 0)$，若只取一个非原点画线容易出错，应至少取两点（含原点）。
• 混淆 $k$ 的正负对图像的影响：记住口诀：“$k$ 正上升，$k$ 负下降”。