垂径定理是圆的重要性质之一，它描述了直径（或过圆心的直线）与弦之间的垂直关系。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

换句话说，如果在圆中，有一条直径 $AB$ 垂直于弦 $CD$，垂足为点 $E$，那么就有：

• $CE = ED$（弦被平分）
• 弧 $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD}$，弧 $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$（弧也被平分）

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

这些结论在解决与圆有关的长度、角度、对称性等问题时非常有用。特别注意：当弦本身就是直径时，上述结论不一定成立，因为任意两条直径都互相平分但不一定垂直。

垂径定理：若直径 $AB \perp$ 弦 $CD$ 于点 $E$，则 $CE = ED$，且弧 $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD}$。

推论1：若直径 $AB$ 平分弦 $CD$（$CD$ 不是直径），则 $AB \perp CD$。

推论2：弦 $CD$ 的垂直平分线必过圆心 $O$。

示例：在圆中，若一条直径垂直于长为8的弦，则该弦被分成两段，每段长为 $8 \div 2 = 4$。

例题1（基础）：如图，在⊙$O$ 中，直径 $AB$ 垂直于弦 $CD$ 于点 $E$，已知 $CD = 10$，求 $CE$ 的长。

解：

1. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦。
2. 所以 $CE = \dfrac{1}{2} CD = \dfrac{1}{2} \times 10 = 5$。
3. 答：$CE = 5$。

例题2（进阶）：在⊙$O$ 中，弦 $AB = 8$，圆心 $O$ 到弦 $AB$ 的距离为3，求⊙$O$ 的半径。

解：

1. 过圆心 $O$ 作 $OC \perp AB$，垂足为 $C$，则由垂径定理得 $AC = \dfrac{1}{2} AB = 4$。
2. 在 $\triangle OAC$ 中，$\angle OCA = 90^\circ$，$OC = 3$，$AC = 4$。
3. 由勾股定理：$OA^2 = OC^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$。
4. 所以半径 $OA = \sqrt{25} = 5$。
5. 答：圆的半径为5。

• 误认为任意平分弦的直线都是直径：只有过圆心的直线（即直径所在直线）才能保证垂直于弦。解决方法：始终确认直线是否经过圆心。
• 忽略“弦不是直径”的条件：推论1中要求被平分的弦不能是直径，否则结论不成立。例如，两条直径互相平分但不一定垂直。解决方法：审题时注意弦是否为直径。
• 混淆“垂直平分线”与“任意垂线”：只有弦的垂直平分线才一定过圆心；仅垂直但不平分的线不一定过圆心。解决方法：牢记“垂直+平分”缺一不可。
• 计算时忘记使用勾股定理：在涉及半径、弦长和圆心到弦距离的问题中，常需构造直角三角形。解决方法：主动连接圆心与弦端点，形成直角三角形再计算。