在平面直角坐标系中，一个圆由圆心和半径唯一确定。设圆的圆心为 $O$，半径为 $r$，平面上任意一点为 $P$。我们可以通过比较点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离 $d = |OP|$ 与半径 $r$ 的大小关系，来判断点 $P$ 相对于圆的位置：

• 如果 $d = r$，那么点 $P$ 在圆上；
• 如果 $d < r$，那么点 $P$ 在圆内；
• 如果 $d > r$，那么点 $P$ 在圆外。

特别地，当圆心在原点 $(0,0)$，点 $P$ 的坐标为 $(x, y)$ 时，点到圆心的距离可用公式 $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ 计算。如果圆心在 $(a, b)$，则距离公式为 $d = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$。通过将这个距离与半径比较，就能准确判断点的位置。这是研究圆与其他图形（如直线、多边形）关系的基础。

• 点到圆心距离公式（圆心在原点）：$d = \sqrt{x^2 + y^2}$

  • 示例：点 $(3,4)$ 到原点距离为 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

• 点到圆心距离公式（圆心在 $(a,b)$）：$d = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$

  • 示例：点 $(1,2)$ 到圆心 $(0,0)$ 的距离是 $\sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5}$

• 位置关系判定规则：

  • 若 $d = r$，点在圆上；
  • 若 $d < r$，点在圆内；
  • 若 $d > r$，点在圆外。
  • 示例：圆半径 $r=5$，点到圆心距离 $d=4$，因 $4<5$，故点在圆内。

例题1：已知圆的圆心在原点，半径为 5。判断点 $A(3,4)$ 在圆的什么位置？

解：

1. 写出点 $A$ 的坐标：$(3,4)$。
2. 计算点 $A$ 到圆心（原点）的距离：

3. 比较 $d$ 与半径 $r=5$：因为 $d = r$，
4. 所以点 $A$ 在圆上。

例题2：圆的圆心为 $C(2, -1)$，半径为 3。判断点 $B(5, 1)$ 在圆内、圆上还是圆外？

解：

1. 点 $B$ 坐标为 $(5,1)$，圆心 $C(2,-1)$。
2. 计算距离：

3. 半径 $r = 3$，比较得 $d \approx 3.61 > 3$，
4. 所以点 $B$ 在圆外。

• 混淆距离与坐标的大小：学生可能直接用点的横纵坐标值与半径比较，而忘记先计算到圆心的实际距离。应始终先用距离公式求出 $d$。

• 忽略圆心不在原点的情况：当圆心不是 $(0,0)$ 时，仍用 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 计算距离，导致错误。正确做法是使用 $\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}$。

• 符号错误：在代入坐标计算 $(y - b)^2$ 时，若 $b$ 为负数（如 $b = -1$），容易写成 $y - 1$ 而非 $y - (-1) = y + 1$。注意括号和符号。

• 误认为“在圆内”包含边界：严格来说，“在圆内”指不包括圆周的内部区域；圆周上的点属于“在圆上”。判断时要明确等号对应的是“在圆上”。