开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性

📘 二次函数·
⭐⭐⭐⭐

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💡 例题

1

求双曲线

x299−y236=1.\frac{x^2}{99} - \frac{y^2}{36} = 1.

两个顶点之间的距离。

由a2=99,a^2 = 99,可知，a=99=311.a = \sqrt{99} = 3 \sqrt{11}.。因此，两个顶点之间的距离为2a=611.2a = \boxed{6 \sqrt{11}}.。

2

设A=(1,0)A = (1,0)，B=(5,4).B = (5,4).。设PP是抛物线y2=4x.y^2 = 4x.上的一点。求AP+BP.AP + BP.的最小可能值。

注意：AA是抛物线y2=4x,y^2 = 4x,的焦点，准线是x=−1.x = -1.。根据抛物线定义，点PP到AA的距离等于它到直线x=−1.x = -1.的距离。设QQ是x=−1x = -1上离P,P,最近的点，设RR是x=−1x = -1上离B.B.最近的点。

然后由三角形不等式：

AP+BP=QP+BP≥BQ.AP + BP = QP + BP \ge BQ.

由勾股定理：BQ=BR2+QR2≥BR=6.BQ = \sqrt{BR^2 + QR^2} \ge BR = 6.

当PP与线段BR‾\overline{BR}和抛物线的交点重合时，等号成立，因此AP+BPAP + BP的最小值是6.\boxed{6}.。

✏️ 练习

1

f(x)=3x2−3−∣x∣f(x) = 3^{x^2-3} - |x|是偶函数、奇函数，还是两者都不是？ 请填写“奇函数”、“偶函数”或“两者都不是”。

2

f(x)=32x6−5f(x) = \frac{3}{2x^{6}-5}是偶函数、奇函数，还是两者都不是？ 请填入“奇函数”、“偶函数”或“两者都不是”。

3

设f(x)=∣g(x3)∣f(x) = |g(x^3)|。若gg是奇函数，则ff是奇函数、偶函数，还是非奇非偶函数？

请填“奇”、“偶”或“非奇非偶”。

4

求双曲线

x299−y236=1.\frac{x^2}{99} - \frac{y^2}{36} = 1.

两个顶点之间的距离。

5

求点(6,12)(6,12)到抛物线x=y22.x = \frac{y^2}{2}.的最短距离。