反比例函数的一般形式是 $y = \frac{k}{x}$（其中 $k \neq 0$），它的图像是双曲线，分布在两个象限中，且关于原点对称。一次函数的一般形式是 $y = ax + b$（其中 $a \neq 0$），图像是直线。

当我们要找这两个函数的交点时，实际上是在找同时满足两个函数关系的点 $(x, y)$。也就是说，我们需要解由两个函数组成的方程组：

将第二个式子代入第一个，得到 $ax + b = \dfrac{k}{x}$。两边同乘 $x$（注意 $x \neq 0$），整理后可得一元二次方程：$ax^2 + bx - k = 0$。这个方程的实数解个数决定了两个函数图像的交点个数：

• 若判别式 $\Delta > 0$，有两个不同交点；
• 若 $\Delta = 0$，有一个交点（相切）；
• 若 $\Delta < 0$，无交点。

特别注意：由于反比例函数定义域不含 $x=0$，即使解出 $x=0$，也不能作为交点。

• 联立方程求交点：将 $y = ax + b$ 代入 $y = \frac{k}{x}$，得 $ax + b = \frac{k}{x}$。

  • 示例：若 $y = 2x + 1$ 与 $y = \frac{6}{x}$ 联立，则 $2x + 1 = \frac{6}{x}$。

• 化为一元二次方程：两边乘 $x$ 得 $ax^2 + bx - k = 0$（$x \neq 0$）。

  • 示例：上例变为 $2x^2 + x - 6 = 0$。

• 判别式判断交点个数：$\Delta = b^2 + 4ak$（注意此处常数项为 $-k$）。

  • 示例：对 $2x^2 + x - 6 = 0$，$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 > 0$，有两个交点。

例题1（基础）：求函数 $y = \frac{4}{x}$ 与 $y = x + 3$ 的交点坐标。

解：

1. 联立方程：$x + 3 = \frac{4}{x}$。
2. 两边乘 $x$（$x \neq 0$）：$x^2 + 3x = 4$。
3. 整理得：$x^2 + 3x - 4 = 0$。
4. 因式分解：$(x + 4)(x - 1) = 0$，所以 $x = -4$ 或 $x = 1$。
5. 代入 $y = x + 3$：当 $x = -4$ 时，$y = -1$；当 $x = 1$ 时，$y = 4$。
6. 所以交点为 $(-4, -1)$ 和 $(1, 4)$。

例题2（综合）：已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = -x + 2$ 的图像只有一个交点，求 $k$ 的值，并写出交点坐标。

解：

1. 联立：$-x + 2 = \frac{k}{x}$。
2. 两边乘 $x$：$-x^2 + 2x = k$，即 $x^2 - 2x + k = 0$。
3. 因为只有一个交点，说明该方程有唯一实根，故判别式 $\Delta = 0$。
4. 计算判别式：$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 4 - 4k = 0$。
5. 解得 $k = 1$。
6. 代入方程：$x^2 - 2x + 1 = 0$，即 $(x - 1)^2 = 0$，所以 $x = 1$。
7. 代入 $y = -x + 2$ 得 $y = 1$。
8. 所以交点为 $(1, 1)$。

• 忘记 $x \neq 0$：在去分母时可能引入 $x=0$ 的“假解”，需检验是否在反比例函数定义域内。
• 判别式符号错误：将方程 $ax^2 + bx - k = 0$ 的判别式误写为 $b^2 - 4a(-k)$ 时漏掉负号，正确应为 $\Delta = b^2 + 4ak$。
• 忽略交点个数的实际意义：即使方程有两个解，若其中一个 $x=0$，则实际只有一个交点。
• 代入错误：求出 $x$ 后代入错误的函数求 $y$，建议代入一次函数（计算更简单）。
• 未验证结果合理性：例如交点应在双曲线所在象限，若 $k>0$ 但交点在二、四象限，则可能出错。