反比例函数的一般形式是 $y = \dfrac{k}{x}$（其中 $k \neq 0$）。它的图像是由两条分开的曲线组成的，称为双曲线。这两条曲线永远不会与坐标轴相交，因为当 $x = 0$ 时函数无意义（分母不能为零），而当 $y = 0$ 时也没有对应的 $x$ 值。

双曲线的位置取决于常数 $k$ 的正负：

• 当 $k > 0$ 时，图像分别位于第一象限和第三象限；
• 当 $k < 0$ 时，图像分别位于第二象限和第四象限。

此外，反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点 $(0, 0)$。也就是说，如果点 $(a, b)$ 在图像上，那么点 $(-a, -b)$ 也一定在图像上。

例如，函数 $y = \dfrac{2}{x}$ 的图像在第一、三象限；而 $y = \dfrac{-3}{x}$ 的图像则在第二、四象限。

• 反比例函数标准式：$y = \dfrac{k}{x}$（$k \neq 0$）

  • 示例：$y = \dfrac{5}{x}$ 是一个反比例函数，其中 $k = 5$

• 象限分布规则：

  • 若 $k > 0$，图像在第一、三象限
    • 示例：$y = \dfrac{4}{x}$ → 第一、三象限
  • 若 $k < 0$，图像在第二、四象限
    • 示例：$y = \dfrac{-2}{x}$ → 第二、四象限

例题1：画出函数 $y = \dfrac{6}{x}$ 的大致图像，并说明它经过哪些象限。

解：

1. 确定 $k = 6 > 0$，所以图像在第一、三象限。
2. 列表取几个点：
   • 当 $x = 1$，$y = 6$ → 点 $(1, 6)$
   • 当 $x = 2$，$y = 3$ → 点 $(2, 3)$
   • 当 $x = -1$，$y = -6$ → 点 $(-1, -6)$
   • 当 $x = -2$，$y = -3$ → 点 $(-2, -3)$
3. 在坐标系中标出这些点，用光滑曲线连接，得到两支双曲线。
4. 结论：图像经过第一象限和第三象限。

例题2：已知反比例函数 $y = \dfrac{k}{x}$ 的图像经过点 $(-3, 4)$，求 $k$ 的值，并判断图像所在的象限。

解：

1. 将点 $(-3, 4)$ 代入函数：$4 = \dfrac{k}{-3}$
2. 解得：$k = 4 \times (-3) = -12$
3. 因为 $k = -12 < 0$，所以图像位于第二象限和第四象限。
4. 验证：点 $(-3, 4)$ 在第二象限，符合结论。

• 误认为图像会与坐标轴相交：实际上，反比例函数的图像无限接近坐标轴但永不相交。应牢记 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$。

• 混淆 $k$ 正负对应的象限：记住口诀“正一三，负二四”——$k>0$ 在一、三象限，$k<0$ 在二、四象限。

• 画图时连成一条曲线：反比例函数图像是两支分开的曲线，不能连在一起。

• 忽略对称性：图像关于原点中心对称，可利用这一点快速检查所画图像是否正确。

• 代入点求 $k$ 时符号错误：注意坐标的正负号，如点 $(-2, 3)$ 代入得 $3 = \dfrac{k}{-2}$，所以 $k = -6$，不是 $6$。