配方法是一种将一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（其中 $a \neq 0$）通过恒等变形，转化为形如 $(x + m)^2 = n$ 的形式，从而求解的方法。其核心思想是“补全平方”——利用完全平方公式 $(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2$，把左边变成一个完全平方式。

具体来说，当二次项系数为1时（即方程为 $x^2 + bx + c = 0$），我们先把常数项移到右边，得到 $x^2 + bx = -c$。然后在等式两边同时加上一次项系数一半的平方 $\left(\frac{b}{2}\right)^2$，左边就变成了 $\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$。这样，原方程就变成了一个可以直接开平方的形式。

如果二次项系数不是1，比如 $2x^2 + 4x - 6 = 0$，首先要两边同除以 $a$，使二次项系数变为1，再进行配方。

配方法不仅用于解方程，还能帮助我们理解抛物线的顶点、推导求根公式等，是连接代数与几何的重要桥梁。

• 完全平方公式：$(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2$
  示例：$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$
• 配方关键步骤：对 $x^2 + bx$，加上 $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ 得到 $\left(x + \frac{b}{2}\right)^2$
  示例：$x^2 + 8x$ 配方后为 $\left(x + 4\right)^2 - 16$
• 标准配方结果：$x^2 + bx + c = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4}\right)$
  示例：$x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4$

例题1（基础）：用配方法解方程 $x^2 + 6x + 5 = 0$。

解：

1. 移项：$x^2 + 6x = -5$
2. 配方：一次项系数为6，一半是3，平方是9。两边加9：

3. 左边写成完全平方：$(x + 3)^2 = 4$
4. 开平方：$x + 3 = \pm 2$
5. 解得：$x = -3 + 2 = -1$ 或 $x = -3 - 2 = -5$

答：方程的解为 $x = -1$ 或 $x = -5$。

例题2（进阶）：用配方法解方程 $2x^2 - 8x + 6 = 0$。

解：

1. 两边同除以2，使二次项系数为1：

2. 移项：$x^2 - 4x = -3$
3. 配方：一次项系数为-4，一半是-2，平方是4。两边加4：

4. 左边写成完全平方：$(x - 2)^2 = 1$
5. 开平方：$x - 2 = \pm 1$
6. 解得：$x = 2 + 1 = 3$ 或 $x = 2 - 1 = 1$

答：方程的解为 $x = 1$ 或 $x = 3$。

• 忘记先化二次项系数为1：当方程形如 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 1$）时，必须先两边除以 $a$ 再配方，否则会出错。避免方法：第一步检查二次项系数是否为1。
• 加错配方项：应加“一次项系数一半的平方”，常见错误是只加一半或忘记平方。避免方法：牢记公式：加 $\left(\frac{b}{2}\right)^2$。
• 移项时符号错误：把常数项移到右边时忘记变号。避免方法：移项后立即检查等式两边是否相等。
• 开平方漏掉负根：$(x + m)^2 = n$（$n > 0$）时，应有 $x + m = \pm \sqrt{n}$，不能只取正根。避免方法：开平方时主动写下“±”。