韦达定理（Vieta's formulas）是关于一元二次方程根与系数之间关系的重要结论。对于标准形式的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（其中 $a \neq 0$），如果它有两个实数根（或复数根）$x_1$ 和 $x_2$，那么这两个根的和与积可以用方程的系数直接表示：

• 根的和：$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$
• 根的积：$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

这个定理不需要先解出方程的根，就能知道根的一些整体性质。例如，当我们知道一个方程的两个根互为相反数时，就可以立刻得出它们的和为0，从而推出 $b = 0$。

韦达定理不仅适用于实数根，也适用于复数根，并且在后续学习高次方程、因式分解、构造方程等问题中都有广泛应用。掌握韦达定理有助于我们更灵活地处理与方程根相关的问题。

• 根的和：若 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两根为 $x_1, x_2$，则 $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$。

  • 示例：方程 $2x^2 - 6x + 4 = 0$ 中，$x_1 + x_2 = -\dfrac{-6}{2} = 3$。

• 根的积：$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$。

  • 示例：同上方程中，$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{4}{2} = 2$。

例题1（基础应用）：已知方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两个根为 $x_1$ 和 $x_2$，不求根，直接求 $x_1 + x_2$ 和 $x_1 x_2$。

解： 该方程中，$a = 1$，$b = -5$，$c = 6$。 根据韦达定理：

• $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-5}{1} = 5$
• $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{1} = 6$

答：和为5，积为6。

例题2（逆向应用）：已知一个一元二次方程的两个根分别是3和-2，求这个方程（要求首项系数为1）。

解： 设方程为 $x^2 + bx + c = 0$（因为首项系数为1）。 由韦达定理：

• 根的和：$3 + (-2) = 1 = -b \Rightarrow b = -1$
• 根的积：$3 \times (-2) = -6 = c$

所以方程为 $x^2 - x - 6 = 0$。

验证：$(x - 3)(x + 2) = x^2 - x - 6$，正确。

• 符号错误：忘记根的和公式中的负号，误写成 $x_1 + x_2 = \dfrac{b}{a}$。应牢记是 $-\dfrac{b}{a}$。
• 忽略 $a \neq 0$：韦达定理只适用于一元二次方程，即必须确认 $a \neq 0$，否则不是二次方程。
• 未化为标准形式：使用韦达定理前，必须将方程整理成 $ax^2 + bx + c = 0$ 的标准形式，否则系数对应错误。
• 混淆根的和与积：记混哪个是和、哪个是积。可记忆口诀：“和反b，积正c”（指除以a后，和带负号，积不带）。
• 误用于无实根情况：即使方程没有实数根（判别式小于0），韦达定理仍然成立（适用于复数根），但初中阶段通常默认讨论有实根的情形，需注意题目条件。