中心对称是旋转的一种特殊情况。如果一个图形绕着某一点旋转 $180^\circ$ 后，能够与另一个图形（或自身）完全重合，那么这两个图形就关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心。

特别地，如果一个图形绕某一点旋转 $180^\circ$ 后能与自身重合，这个图形就叫做中心对称图形，该点就是它的对称中心。

中心对称具有以下重要性质：

1. 对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分。也就是说，若点 $A$ 和点 $A'$ 关于点 $O$ 中心对称，则 $O$ 是线段 $AA'$ 的中点，即 $OA = OA'$。
2. 中心对称的两个图形全等，形状和大小完全相同。
3. 常见的中心对称图形有：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等。注意：等腰三角形、等边三角形一般不是中心对称图形（除非是特殊的退化情况）。

判断一个图形是否为中心对称图形，可以想象将其绕某点旋转半圈（$180^\circ$），看是否与原图重合。

• 对称点坐标公式：若点 $P(x, y)$ 关于原点 $O(0, 0)$ 中心对称，则其对称点为 $P'(-x, -y)$。

  • 示例：点 $(3, -2)$ 关于原点的对称点是 $(-3, 2)$。

• 一般对称中心公式：若点 $P(x, y)$ 关于点 $C(a, b)$ 中心对称，则对称点 $P'(x', y')$ 满足：

• 示例：点 $(1, 4)$ 关于点 $(2, 3)$ 的对称点为 $(2\times2 - 1, 2\times3 - 4) = (3, 2)$。

例题1（基础）：判断下列图形中哪些是中心对称图形：① 等边三角形；② 平行四边形；③ 正五边形；④ 圆。

解：

1. 等边三角形：绕任意点旋转 $180^\circ$ 都不能与自身重合 → 不是中心对称图形。
2. 平行四边形：绕对角线交点旋转 $180^\circ$ 能与自身重合 → 是中心对称图形。
3. 正五边形：旋转 $180^\circ$ 后顶点位置不匹配 → 不是中心对称图形（它是轴对称，但不是中心对称）。
4. 圆：绕圆心旋转任意角度（包括 $180^\circ$）都重合 → 是中心对称图形。

答：② 和 ④ 是中心对称图形。

例题2（进阶）：已知点 $A(5, -1)$ 和点 $B(-3, 7)$ 关于点 $O$ 中心对称，求对称中心 $O$ 的坐标。

解： 因为 $A$ 和 $B$ 关于点 $O$ 对称，所以 $O$ 是线段 $AB$ 的中点。 利用中点公式：

答：对称中心 $O$ 的坐标是 $(1, 3)$。

• 混淆中心对称与轴对称：有些图形（如等腰梯形）是轴对称但不是中心对称。要记住中心对称必须绕点旋转 $180^\circ$ 重合。
• 误认为所有对称图形都是中心对称：例如正三角形、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形。
• 找错对称中心：在平行四边形中，对称中心是对角线的交点，不是任意顶点或边的中点。
• 坐标计算错误：使用对称点公式时，忘记用 $2a - x$ 而直接取相反数（这只适用于关于原点对称的情况）。
• 忽略“完全重合”的要求：旋转后哪怕有一点不重合，也不能称为中心对称。