在直角三角形中，对于一个锐角 $A$（不是直角），它的正切（tangent）定义为：该角的对边长度与邻边长度的比值。用符号表示就是：

例如，在直角三角形 $ABC$ 中，若 $\angle C = 90^\circ$，那么对于 $\angle A$ 来说，对边是 $BC$，邻边是 $AC$，所以 $\tan A = \frac{BC}{AC}$。

注意：正切只适用于锐角（小于 $90^\circ$ 的角），而且它是一个比值，没有单位。随着角度增大（从 $0^\circ$ 到 $90^\circ$），正切值也逐渐增大。当角度接近 $90^\circ$ 时，正切值会变得非常大。

正切和我们之前学过的正弦、余弦一样，是描述角度与边长关系的重要工具，常用于测量高度、坡度等实际问题。

• 正切定义：$\tan A = \dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}$

  • 示例：在直角三角形中，若 $\angle A$ 的对边为 3，邻边为 4，则 $\tan A = \dfrac{3}{4} = 0.75$。

• 互余角关系：若 $\angle A + \angle B = 90^\circ$，则 $\tan A = \dfrac{1}{\tan B}$

  • 示例：若 $\angle A = 30^\circ$，则 $\angle B = 60^\circ$，且 $\tan 30^\circ = \dfrac{1}{\tan 60^\circ}$。

例题1：在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = 6$，$BC = 8$。求 $\tan A$ 和 $\tan B$。

解：

1. 对于 $\angle A$，对边是 $BC = 8$，邻边是 $AC = 6$，所以

2. 对于 $\angle B$，对边是 $AC = 6$，邻边是 $BC = 8$，所以

例题2：一个斜坡的垂直高度是 5 米，水平距离是 12 米。求这个斜坡的倾斜角 $\theta$ 的正切值。

解：

1. 把斜坡看作直角三角形的斜边，垂直高度是对边（5 米），水平距离是邻边（12 米）。
2. 根据正切定义：

3. 所以，$\tan \theta = \dfrac{5}{12} \approx 0.417$。

• 混淆对边和邻边：学生容易把“对边”和“邻边”搞反。记住：对边是对着所求角的那条边，邻边是紧挨着所求角（且不是斜边）的那条边。

• 误用于非直角三角形：正切定义仅适用于直角三角形中的锐角。不能直接用于钝角或一般三角形，除非先构造出直角三角形。

• 忽略角度范围：正切只对 $0^\circ < \theta < 90^\circ$ 的锐角有定义（初中阶段）。不要尝试计算 $\tan 90^\circ$，它是不存在的。

• 忘记化简分数：如 $\frac{6}{8}$ 应化简为 $\frac{3}{4}$，避免答案不规范。