平均数是反映一组数据集中趋势的重要统计量。在数学中，算术平均数（简称平均数）是指所有数据的总和除以数据的个数。例如，某班5名学生的数学成绩分别是80、85、90、95、100分，那么他们的平均分就是：

从这个例子可以看出，总分数 = 平均数 × 人数，这是解决平均数问题的关键关系式。反过来，如果知道总分数和人数，也可以求出平均数：

在实际问题中，常常会出现“加入新数据后平均数变化”的情况。这时，我们可以先算出原来的总分数，再加上新数据得到新的总分数，再除以新的人数，从而求出新的平均数。这种思路常用于列方程解应用题。

• 平均数公式：$\text{平均数} = \dfrac{\text{总分数}}{\text{个数}}$
  示例：3次测验得分分别为70、80、90，则平均分为 $\dfrac{70+80+90}{3} = 80$。

• 总分数公式：$\text{总分数} = \text{平均数} \times \text{个数}$
  示例：全班20人平均分85分，则总分数为 $85 \times 20 = 1700$ 分。

• 新平均数计算：加入一个新数据 $x$ 后，新平均数为 $\dfrac{\text{原总分数} + x}{\text{原个数} + 1}$
  示例：原4人平均分75，加入一人得95分，则新平均数为 $\dfrac{75 \times 4 + 95}{5} = \dfrac{395}{5} = 79$。

例题1（基础）：某小组6名同学的平均身高是150厘米，后来又加入一名身高162厘米的同学。求现在7人的平均身高。

解题过程：

1. 先求原来6人的总身高：$150 \times 6 = 900$（厘米）。
2. 加入新同学后，总身高变为：$900 + 162 = 1062$（厘米）。
3. 现在有7人，所以新平均身高为：$\dfrac{1062}{7} = 151.71$（厘米）（保留两位小数）。

例题2（进阶）：小明前4次数学测验的平均分是82分。如果他希望5次测验的平均分达到85分，那么第5次至少要考多少分？

解题过程：

1. 设第5次考了 $x$ 分。
2. 前4次总分为：$82 \times 4 = 328$ 分。
3. 5次总分应为：$85 \times 5 = 425$ 分。
4. 列方程：$328 + x = 425$。
5. 解得：$x = 425 - 328 = 97$。
6. 所以第5次至少要考97分。

• 混淆“总分数”和“平均数”：学生常直接用平均数参与加减运算，而忘记先乘以人数得到总分数。避免方法：牢记“总分数 = 平均数 × 个数”。

• 忽略人数变化：当增加或减少数据时，忘记更新总个数。避免方法：每次变动后重新确认“新总分数 ÷ 新个数”。

• 设未知数错误：在列方程时，把平均数设为未知数而不是具体分数。避免方法：明确题目要求的是哪一次的具体得分，设该得分为 $x$。

• 计算粗心：如 $85 \times 5$ 算错成420。避免方法：关键步骤验算，或用估算检查合理性（如85×5应接近400多）。

• 单位遗漏或混淆：如身高用“厘米”，分数用“分”，但答题时未写单位。避免方法：养成“数值+单位”一起写的习惯。