1. 我们把原式改写为：

$$\frac{x^2 + 7}{\sqrt{x^2 + 3}} = \frac{x^2 + 3 + 4}{\sqrt{x^2 + 3}} = \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x^2 + 3}} + \frac{4}{\sqrt{x^2 + 3}} = \sqrt{x^2 + 3} + \frac{4}{\sqrt{x^2 + 3}}.$$

2. 根据均值不等式（AM-GM），

$$\sqrt{x^2 + 3} + \frac{4}{\sqrt{x^2 + 3}} \ge 2 \sqrt{\sqrt{x^2 + 3} \cdot \frac{4}{\sqrt{x^2 + 3}}} = 4.$$

3. 等号成立当且仅当$x = 1,$，此时最小值为$\boxed{4}.$。

我们可以将式子变形为：

$$\begin{aligned} f(x) &= x + \frac{x}{x^2 + 1} + \frac{x(x + 4)}{x^2 + 2} + \frac{2(x + 2)}{x(x^2 + 2)} \\ &= \frac{x(x^2 + 1) + x}{x^2 + 1} + \frac{x^2 (x + 4)}{x(x^2 + 2)} + \frac{2(x + 2)}{x(x^2 + 2)} \\ &= \frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1} + \frac{x^3 + 4x^2 + 2x + 4}{x(x^2 + 2)} \\ &= \frac{x(x^2 + 2)}{x^2 + 1} + \frac{4x^2 + 4}{x(x^2 + 2)} + \frac{x(x^2 + 2)}{x(x^2 + 2)} \\ &= \frac{x(x^2 + 2)}{x^2 + 1} + 4 \cdot \frac{x^2 + 1}{x(x^2 + 2)} + 1. \end{aligned}$$

由均值不等式（AM-GM），

$$\frac{x(x^2 + 2)}{x^2 + 1} + 4 \cdot \frac{x^2 + 1}{x(x^2 + 2)} \ge 2 \sqrt{\frac{x(x^2 + 2)}{x^2 + 1} \cdot 4 \cdot \frac{x^2 + 1}{x(x^2 + 2)}} = 4,$$

所以$f(x) \ge 5.$

等号成立当且仅当

$$\frac{x(x^2 + 2)}{x^2 + 1} = 2,$$

或$x(x^2 + 2) = 2x^2 + 2.$ 化简得$x^3 - 2x^2 + 2x - 2 = 0.$

令$g(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 2.$ 因为$g(1) = -1$且$g(2) = 2,$，所以方程$g(x) = 0$在1和2之间有根。 特别地，$g(x) = 0$有一个正根。

因此，$f(x)$在$x > 0$时的最小值是$\boxed{5}.$