圆基础概念：弦、直径、弧、优弧、劣弧、圆心角、圆周角

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💡 例题

1

某双曲线的中心在(−2,0),(-2,0),，一个焦点在(−2+34,0),(-2 + \sqrt{34},0),，一个顶点在(−5,0).(-5,0).。该双曲线的方程可写为

(x−h)2a2−(y−k)2b2=1.\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1.

。求h+k+a+b.h + k + a + b.。

  1. 双曲线的中心是(h,k)=(−2,0).(h,k) = (-2,0).。
  2. 中心到一个顶点的距离是a=3,a = 3,。
  3. 中心到一个焦点的距离是c=34.c = \sqrt{34}.。
  4. 于是b2=c2−a2=34−32=25,b^2 = c^2 - a^2 = 34 - 3^2 = 25,，所以b=5.b = 5.。
  5. 因此，h+k+a+b=−2+0+3+5=6.h + k + a + b = -2 + 0 + 3 + 5 = \boxed{6}.。
2

某双曲线的中心在(2,0),(2,0),，一个焦点在(2,6),(2,6),，一个顶点在(2,−3).(2,-3).。该双曲线的方程可写为

(y−k)2a2−(x−h)2b2=1.\frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1.

。求h+k+a+b.h + k + a + b.。

  1. 双曲线的中心是(h,k)=(2,0).(h,k) = (2,0).。
  2. 中心到一个顶点的距离是a=3,a = 3,，中心到一个焦点的距离是c=6.c = 6.。
  3. 所以b2=c2−a2=62−32=27,b^2 = c^2 - a^2 = 6^2 - 3^2 = 27,，因此b=33.b = 3 \sqrt{3}.。

所以，h+k+a+b=2+0+3+33=33+5.h + k + a + b = 2 + 0 + 3 + 3 \sqrt{3} = \boxed{3 \sqrt{3} + 5}.

✏️ 练习

1

椭圆x22+y2=1\frac{x^2}{2} + y^2 = 1的一个焦点在F=(1,0).F = (1,0).。存在一点P=(p,0),P = (p,0),，满足p>0,p > 0,，使得任意一条过F,F,的弦AB‾\overline{AB}，所成的角∠APF\angle APF与角∠BPF\angle BPF相等。求p.p.。

2

求椭圆

x220+y24=7.\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{4} = 7.

两个焦点之间的距离。

3

求椭圆

x220+y24=7.\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{4} = 7.

两个焦点之间的距离。