反比例函数的图像

📘 反比例函数·
⭐⭐
·双曲线、象限分布

🎯 学习目标

  • 理解反比例函数的定义及其图像特征
  • 掌握反比例函数图像（双曲线）在坐标系中的象限分布规律
  • 能根据函数表达式判断图像位置并画出大致图像

📚 核心概念

反比例函数的一般形式是 y=kxy = \dfrac{k}{x}（其中 k≠0k \neq 0）。它的图像是由两条分开的曲线组成的，称为双曲线。这两条曲线永远不会与坐标轴相交，因为当 x=0x = 0 时函数无意义（分母不能为零），而当 y=0y = 0 时也没有对应的 xx 值。

双曲线的位置取决于常数 kk 的正负：

  • 当 k>0k > 0 时，图像分别位于第一象限和第三象限；
  • 当 k<0k < 0 时，图像分别位于第二象限和第四象限。

此外，反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点 (0,0)(0, 0)。也就是说，如果点 (a,b)(a, b) 在图像上，那么点 (−a,−b)(-a, -b) 也一定在图像上。

例如，函数 y=2xy = \dfrac{2}{x} 的图像在第一、三象限；而 y=−3xy = \dfrac{-3}{x} 的图像则在第二、四象限。

📝 关键公式

  • 反比例函数标准式：y=kxy = \dfrac{k}{x}（k≠0k \neq 0）

    • 示例：y=5xy = \dfrac{5}{x} 是一个反比例函数，其中 k=5k = 5

  • 象限分布规则：

    • 若 k>0k > 0，图像在第一、三象限
      • 示例：y=4xy = \dfrac{4}{x} → 第一、三象限
    • 若 k<0k < 0，图像在第二、四象限
      • 示例：y=−2xy = \dfrac{-2}{x} → 第二、四象限

💡 经典例题

例题1：画出函数 y=6xy = \dfrac{6}{x} 的大致图像，并说明它经过哪些象限。

解：

  1. 确定 k=6>0k = 6 > 0，所以图像在第一、三象限。
  2. 列表取几个点：
    • 当 x=1x = 1，y=6y = 6 → 点 (1,6)(1, 6)
    • 当 x=2x = 2，y=3y = 3 → 点 (2,3)(2, 3)
    • 当 x=−1x = -1，y=−6y = -6 → 点 (−1,−6)(-1, -6)
    • 当 x=−2x = -2，y=−3y = -3 → 点 (−2,−3)(-2, -3)
  3. 在坐标系中标出这些点，用光滑曲线连接，得到两支双曲线。
  4. 结论：图像经过第一象限和第三象限。

例题2：已知反比例函数 y=kxy = \dfrac{k}{x} 的图像经过点 (−3,4)(-3, 4)，求 kk 的值，并判断图像所在的象限。

解：

  1. 将点 (−3,4)(-3, 4) 代入函数：4=k−34 = \dfrac{k}{-3}
  2. 解得：k=4×(−3)=−12k = 4 \times (-3) = -12
  3. 因为 k=−12<0k = -12 < 0，所以图像位于第二象限和第四象限。
  4. 验证：点 (−3,4)(-3, 4) 在第二象限，符合结论。

⚠️ 易错点

  • 误认为图像会与坐标轴相交：实际上，反比例函数的图像无限接近坐标轴但永不相交。应牢记 x≠0x \neq 0 且 y≠0y \neq 0。

  • 混淆 kk 正负对应的象限：记住口诀“正一三，负二四”——k>0k>0 在一、三象限，k<0k<0 在二、四象限。

  • 画图时连成一条曲线：反比例函数图像是两支分开的曲线，不能连在一起。

  • 忽略对称性：图像关于原点中心对称，可利用这一点快速检查所画图像是否正确。

  • 代入点求 kk 时符号错误：注意坐标的正负号，如点 (−2,3)(-2, 3) 代入得 3=k−23 = \dfrac{k}{-2}，所以 k=−6k = -6，不是 66。

💡 例题

1

函数xy=1xy = 1的图像是双曲线。求该双曲线两个焦点之间的距离。

由xy=1,xy = 1,的图像可知，两个焦点位于点(t,t)(t,t)和(−t,−t)(-t,-t)，其中t.t.为某个正实数。

[asy] unitsize(1 cm);

real func(real x) { return(1/x); }

pair P; pair[] F;

P = (1/2,2); F[1] = (sqrt(2),sqrt(2)); F[2] = (-sqrt(2),-sqrt(2));

draw(graph(func,1/3,3),red); draw(graph(func,-3,-1/3),red); draw((-3,0)--(3,0)); draw((0,-3)--(0,3)); draw(F[1]--P--F[2]);

dot("F1F_1", F[1], SE); dot("F2F_2", F[2], SW); dot("PP", P, NE); [/asy]

因此，若P=(x,y)P = (x,y)是双曲线上一点，则双曲线的一支可表示为：

(x+t)2+(y+t)2−(x−t)2+(y−t)2=d\sqrt{(x + t)^2 + (y + t)^2} - \sqrt{(x - t)^2 + (y - t)^2} = d

（其中d.d.为某个正实数）。

那么：

(x+t)2+(y+t)2=(x−t)2+(y−t)2+d.\sqrt{(x + t)^2 + (y + t)^2} = \sqrt{(x - t)^2 + (y - t)^2} + d.

两边平方得：

(x+t)2+(y+t)2=(x−t)2+(y−t)2+2d(x−t)2+(y−t)2+d2.(x + t)^2 + (y + t)^2 = (x - t)^2 + (y - t)^2 + 2d \sqrt{(x - t)^2 + (y - t)^2} + d^2.

化简得：

4tx+4ty−d2=2d(x−t)2+(y−t)2.4tx + 4ty - d^2 = 2d \sqrt{(x - t)^2 + (y - t)^2}.

再平方得： \begin{aligned} &16t^2 x^2 + 16t^2 y^2 + d^4 + 32t^2 xy - 8d^2 tx - 8d^2 ty \ &= 4d^2 x^2 - 8d^2 tx + 4d^2 y^2 - 8d^2 ty + 8d^2 t^2. \end{aligned} 消去相同项后得：

16t2x2+16t2y2+d4+32t2xy=4d2x2+4d2y2+8d2t2.16t^2 x^2 + 16t^2 y^2 + d^4 + 32t^2 xy = 4d^2 x^2 + 4d^2 y^2 + 8d^2 t^2.

我们希望该式化简为xy=1.xy = 1.。为此，左右两边x2x^2与y2y^2的系数必须分别相等，即：

16t2=4d2.16t^2 = 4d^2.

于是d2=4t2,d^2 = 4t^2,，解得d=2t.d = 2t.。 代入后方程变为：

16t4+32t2xy=32t4.16t^4 + 32t^2 xy = 32t^4.

进而32t2xy=16t4,32t^2 xy = 16t^4,，解得xy=t22.xy = \frac{t^2}{2}.。 因此t=2,t = \sqrt{2},，所以焦点(2,2)(\sqrt{2},\sqrt{2})与(−2,−2)(-\sqrt{2},-\sqrt{2})之间的距离为4.\boxed{4}.。

2

函数xy=1xy = 1的图像是双曲线。求该双曲线两个焦点之间的距离。

由xy=1,xy = 1,的图像可知，两个焦点位于点(t,t)(t,t)和(−t,−t)(-t,-t)，其中t.t.为某个正实数。

[asy] unitsize(1 cm);

real func(real x) { return(1/x); }

pair P; pair[] F;

P = (1/2,2); F[1] = (sqrt(2),sqrt(2)); F[2] = (-sqrt(2),-sqrt(2));

draw(graph(func,1/3,3),red); draw(graph(func,-3,-1/3),red); draw((-3,0)--(3,0)); draw((0,-3)--(0,3)); draw(F[1]--P--F[2]);

dot("F1F_1", F[1], SE); dot("F2F_2", F[2], SW); dot("PP", P, NE); [/asy]

因此，若P=(x,y)P = (x,y)是双曲线上一点，则双曲线的一支可表示为：

(x+t)2+(y+t)2−(x−t)2+(y−t)2=d\sqrt{(x + t)^2 + (y + t)^2} - \sqrt{(x - t)^2 + (y - t)^2} = d

（其中d.d.为某个正实数）。

于是有：

(x+t)2+(y+t)2=(x−t)2+(y−t)2+d.\sqrt{(x + t)^2 + (y + t)^2} = \sqrt{(x - t)^2 + (y - t)^2} + d.

两边平方得：

(x+t)2+(y+t)2=(x−t)2+(y−t)2+2d(x−t)2+(y−t)2+d2.(x + t)^2 + (y + t)^2 = (x - t)^2 + (y - t)^2 + 2d \sqrt{(x - t)^2 + (y - t)^2} + d^2.

化简得：

4tx+4ty−d2=2d(x−t)2+(y−t)2.4tx + 4ty - d^2 = 2d \sqrt{(x - t)^2 + (y - t)^2}.

再两边平方得： \begin{aligned} &16t^2 x^2 + 16t^2 y^2 + d^4 + 32t^2 xy - 8d^2 tx - 8d^2 ty \ &= 4d^2 x^2 - 8d^2 tx + 4d^2 y^2 - 8d^2 ty + 8d^2 t^2. \end{aligned} 消去相同项后得：

16t2x2+16t2y2+d4+32t2xy=4d2x2+4d2y2+8d2t2.16t^2 x^2 + 16t^2 y^2 + d^4 + 32t^2 xy = 4d^2 x^2 + 4d^2 y^2 + 8d^2 t^2.

我们希望该式化简为xy=1.xy = 1.。为此，左右两边x2x^2与y2y^2的系数必须分别相等，即：

16t2=4d2.16t^2 = 4d^2.

于是d2=4t2,d^2 = 4t^2,，解得d=2t.d = 2t.。 代入后方程变为：

16t4+32t2xy=32t4.16t^4 + 32t^2 xy = 32t^4.

于是32t2xy=16t4,32t^2 xy = 16t^4,，解得xy=t22.xy = \frac{t^2}{2}.。 因此t=2,t = \sqrt{2},，故两焦点(2,2)(\sqrt{2},\sqrt{2})与(−2,−2)(-\sqrt{2},-\sqrt{2})之间的距离为4.\boxed{4}.。