蛋蛋的奥数 | AI 数学伴侣

📘 圆·

⭐⭐⭐

·判定定理、性质定理

🎯 学习目标

理解圆的切线的定义及其几何特征
掌握切线的判定定理和性质定理，并能灵活应用
能够运用切线相关知识解决几何证明与计算问题

📚 核心概念

在圆中，切线是指与圆只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。切线有两个核心定理：

切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。也就是说，若直线 $l$ 经过圆上一点 $A$ ，且 $OA \perp l$ （其中 $O$ 是圆心），则 $l$ 是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。即若直线 $l$ 是圆 $O$ 的切线，切点为 $A$ ，则 $OA \perp l$ 。

这两个定理互为逆命题，在解题时经常配合使用。特别注意：要证明一条直线是切线，要么证明它满足“过半径外端且垂直半径”，要么先假设它是切线再用性质推导其他结论。此外，从圆外一点可以引出两条切线，这两条切线长度相等，这也是一个重要推论（切线长定理）。

📝 关键公式

切线判定定理：若点 $A$ 在圆 $O$ 上，且 $OA \perp l$ ，则直线 $l$ 是圆的切线。
- 示例：已知 $OA = 5$ ，点 $A$ 在圆上，直线 $l$ 过 $A$ 且与 $OA$ 成 $90^\circ$ ，则 $l$ 是切线。
切线性质定理：若直线 $l$ 切圆 $O$ 于点 $A$ ，则 $OA \perp l$ 。
- 示例：若 $l$ 是圆的切线，切点为 $A$ ，则连接圆心 $O$ 与 $A$ 后， $\angle OAl = 90^\circ$ 。
切线长定理：从圆外一点 $P$ 引圆的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，则 $PA = PB$ 。
- 示例：点 $P$ 在圆外， $PA$ 、 $PB$ 是切线，则 $PA = PB = 6$ （若已知其一）。

💡 经典例题

例题1（基础）：如图， $AB$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 在圆上，且 $\angle ACB = 90^\circ$ 。过点 $C$ 作直线 $l$ ，使得 $l \perp OC$ 。求证：直线 $l$ 是圆 $O$ 的切线。

解题过程：

已知点 $C$ 在圆上，所以 $OC$ 是半径。
题设给出 $l \perp OC$ ，且 $l$ 经过点 $C$ （半径的外端）。
根据切线的判定定理（过半径外端且垂直于该半径的直线是切线），可得 $l$ 是圆 $O$ 的切线。

例题2（进阶）：如图，点 $P$ 在圆 $O$ 外， $PA$ 、 $PB$ 是圆的两条切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ 。连接 $OP$ ，交圆于点 $C$ 。若 $PA = 8$ ， $OP = 10$ ，求圆的半径。

解题过程：

由切线性质定理， $OA \perp PA$ ，故 $\triangle OAP$ 是直角三角形， $\angle OAP = 90^\circ$ 。
设圆的半径为 $r$ ，则 $OA = r$ ， $PA = 8$ ， $OP = 10$ 。
在 $\triangle OAP$ 中，由勾股定理： $OA^2 + PA^2 = OP^2$ ，即 $r^2 + 8^2 = 10^2$ 。
解得： $r^2 + 64 = 100 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6$ 。
所以圆的半径为 $6$ 。

⚠️ 易错点

混淆判定与性质：学生常把“切线 ⇒ 垂直半径”当成判定条件。正确做法是：要证切线，必须说明直线过圆上一点且垂直该点半径。
忽略“过半径外端”这一条件：仅证明垂直但未说明直线过圆上的点，不能判定为切线。
误认为所有与圆有一个交点的直线都是切线：需强调在欧氏几何中，直线与圆最多两个交点，“一个交点”确实是切线，但初中阶段应通过判定定理严谨证明。
在使用切线长定理时未确认点在圆外：只有从圆外一点引的两条切线才等长，若点在圆上或圆内则不适用。
画图不规范导致误解：建议学生作图时明确标出圆心、切点、半径及垂直符号，避免逻辑混乱。

💡 例题

计算从原点到经过点 $(3,4),$ 、 $(6,8),$ 和 $(5,13).$ 的圆的切线段的长度。

设 $O = (0,0),$ 、 $A = (3,4),$ 、 $B = (6,8),$ 和 $C = (5,13).$ 。设 $T$ 是△ $ABC,$ 外接圆上一点，使得 $\overline{OT}$ 与该外接圆相切。注意： $O,$ 、 $A,$ 和 $B$ 三点共线。

[asy] unitsize(0.4 cm);

pair A, B, C, O, T;

A = (3,4); B = (6,8); C = (5,13); O = circumcenter(A,B,C); T = intersectionpoints(Circle(O/2,abs(O)/2),circumcircle(A,B,C))[1];

draw(circumcircle(A,B,C)); draw((0,0)--(6,8)); draw((0,0)--T); draw((-10,0)--(10,0)); draw((0,-2)--(0,18));

label(" $O = (0,0)$ ", (0,0), SW);

dot(" $A = (3,4)$ ", A, SE); dot(" $B = (6,8)$ ", B, E); dot(" $C = (5,13)$ ", C, NE); dot(" $T$ ", T, SW); [/asy]

由圆幂定理得： $OT^2 = OA \cdot OB = 5 \cdot 10 = 50,$ ，所以 $OT = \sqrt{50} = \boxed{5 \sqrt{2}}.$

设 $ABCD$ 是一个等腰梯形，其底边长为 $AB = 6, BC=5=DA,$ 和 $CD=4.$ 。以 $A$ 和 $B,$ 为圆心、半径为3作两个圆；以 $C$ 和 $D.$ 为圆心、半径为2作两个圆。在梯形内部有一个圆，与这四个圆都相切。这个圆的半径是 $\frac{-k+m\sqrt{n}}p,$ ，其中 $k, m, n,$ 和 $p$ 是正整数， $n$ 不含平方因子，且 $k$ 与 $p$ 互质。求 $k+m+n+p.$ 。

设中间小圆的半径为 $r$ ，圆心为 $O$ 。 [asy] pointpen = black; pathpen = black+linewidth(0.7); pen d = linewidth(0.7) + linetype("4 4"); pen f = fontsize(8); real r = (-60 + 48 * 3^.5)/23; pair A=(0,0), B=(6,0), D=(1, 24^.5), C=(5,D.y), O = (3,(r^2 + 6*r)^.5); D(MP("A",A)--MP("B",B)--MP("C",C,N)--MP("D",D,N)--cycle); D(CR(A,3));D(CR(B,3));D(CR(C,2));D(CR(D,2));D(CR(O,r)); D(O); D((3,0)--(3,D.y),d); D(A--O--D,d); MP("3",(3/2,0),S,f);MP("2",(2,D.y),N,f); [/asy] 显然，直线 $AO$ 经过圆 $A$ 与圆 $O$ 的切点。设 $y$ 为从梯形下底到 $O$ 的垂直距离。由勾股定理得：

3^2 + y^2 = (r + 3)^2 \Longrightarrow y = \sqrt {r^2 + 6r}.

同理，对直线 $DO$ 用相同方法，可得从梯形上底到 $O$ （即 $z$ ）的垂直距离为 $z = \sqrt {r^2 + 4r}$ 。而 $y + z$ 就是整个梯形的高。设 $D'$ 为从 $D$ 向 $AB$ 所作垂线的垂足，则 $AD' = 3 - 2 = 1$ 。再由勾股定理得： $(AD')^2 + (DD')^2 = (AD)^2 \Longrightarrow DD' = \sqrt{24}$ ，因此需解方程： $\sqrt {r^2 + 4r} + \sqrt {r^2 + 6r} = \sqrt {24}$ 。将一个根号项移到等式另一边，两边平方两次，可化为一元二次方程。解得： $r = \frac { - 60 + 48\sqrt {3}}{23}$ ，答案为 $k + m + n + p = 60 + 48 + 3 + 23 = \boxed{134}$ 。

✏️ 练习

一个圆内切于四边形 $ABCD$ ，与 $\overline{AB}$ 相切于点 $P$ ，与 $\overline{CD}$ 相切于点 $Q$ 。已知 $AP=19$ 、 $PB=26$ 、 $CQ=37$ 和 $QD=23$ ，求该圆半径的平方。

$\textit{annulus}$ 是两个同心圆之间的区域。图中两个同心圆的半径分别为 $b$ 和 $c$ ，且 $b>c$ 。设 $\overline{OX}$ 是大圆的一条半径， $\overline{XZ}$ 与小圆相切于点 $Z$ ， $\overline{OY}$ 是过点 $Z$ 的大圆半径。设 $a=XZ$ 、 $d=YZ$ 、 $e=XY$ 。求这个环形区域的面积。用 $\pi$ 和至多一个 $a,b,c,d,e$ 的变量表示答案。

设 $AB$ 是圆心为 $O$ 的圆的一条直径。点 $E$ 在圆上，过点 $B$ 的切线分别与过点 $E$ 和 $AE$ 的切线交于点 $C$ 和 $D$ 。若 $\angle BAE = 43^\circ$ ，求∠ $\angle CED$ 的度数。

圆 $\omega$ 的半径是5，圆心在 $O$ 。点 $A$ 在 $\omega$ 外面，且满足 $OA=13$ 。过 $A$ 作圆 $\omega$ 的两条切线，分别在两条切线上取点 $B$ 和 $C$ （每条切线上各取一个），使得直线 $BC$ 与圆 $\omega$ 相切，且 $\omega$ 在三角形 $ABC$ 外部。已知 $BC=7$ ，求 $AB+AC$ 。

三角形 $ABC$ 的边长为 $AB=7, BC=8,$ 和 $CA=9.$ 。圆 $\omega_1$ 经过点 $B$ ，且与直线 $AC$ 相切于点 $A.$ ；圆 $\omega_2$ 经过点 $C$ ，且与直线 $AB$ 相切于点 $A.$ 。设圆 $\omega_1$ 与圆 $\omega_2$ 的另一个交点（不同于 $A.$ ）为 $K$ 。则 $AK=\tfrac mn,$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n.$ 。