蛋蛋的奥数 | AI 数学伴侣

📘 圆·

⭐⭐

·定理、推论

🎯 学习目标

理解圆周角与圆心角的定义及其关系
掌握圆周角定理及其推论
能运用圆周角定理解决简单的几何问题

📚 核心概念

在同一个圆中，圆心角是指顶点在圆心、两边与圆相交所形成的角；而圆周角是指顶点在圆上、两边也与圆相交所形成的角。

圆周角定理指出：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。也就是说，如果弧 $AB$ 所对的圆心角是 $\angle AOB$ ，而圆周角是 $\angle ACB$ （其中点 $C$ 在圆上且不在弧 $AB$ 上），那么有：

\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB

这个定理有几个重要推论：

同弧或等弧所对的圆周角相等；
直径所对的圆周角是直角（即 $90^\circ$ ）；
$90^\circ$ 的圆周角所对的弦是直径。

这些结论在解决与圆相关的角度和长度问题时非常有用，尤其在证明题和计算题中经常出现。

📝 关键公式

圆周角定理： $\angle ACB = \dfrac{1}{2} \angle AOB$ $∠ A C B = \frac{1}{2} ∠ A O B$ （其中 $\angle AOB$ $∠ A O B$ 是圆心角， $\angle ACB$ $∠ A C B$ 是同弧所对的圆周角）。
- 示例：若圆心角为 $80^\circ$ ，则对应的圆周角为 $40^\circ$ 。
推论1：同弧所对的圆周角相等。
- 示例：弧 $AB$ 上任意两点 $C$ 、 $D$ ，则 $\angle ACB = \angle ADB$ 。
推论2：直径所对的圆周角是直角。
- 示例：若 $AB$ 是直径，点 $C$ 在圆上，则 $\angle ACB = 90^\circ$ 。

💡 经典例题

例题1：如图， $O$ 是圆心， $\angle AOB = 100^\circ$ ，点 $C$ 在圆上且不在弧 $AB$ 上。求 $\angle ACB$ 的度数。

解：

根据圆周角定理，圆周角等于对应圆心角的一半。
已知 $\angle AOB = 100^\circ$ ，所以

\angle ACB = \frac{1}{2} \times 100^\circ = 50^\circ

答： $\angle ACB = 50^\circ$ 。

例题2：已知 $AB$ 是圆的直径，点 $C$ 在圆上，且 $\angle ABC = 30^\circ$ 。求 $\angle BAC$ 的度数。

解：

因为 $AB$ 是直径，根据推论2，直径所对的圆周角是直角，所以 $\angle ACB = 90^\circ$ 。
在 $\triangle ABC$ 中，内角和为 $180^\circ$ ，所以

\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ

答： $\angle BAC = 60^\circ$ 。

⚠️ 易错点

混淆圆心角和圆周角的位置：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。解题前先确认角的类型。
忽略“同弧”条件：只有对着同一段弧的圆周角才相等。不同弧对应的角不能直接比较。
误用直径推论：只有当角的两边都连接到直径两端，且顶点在圆上时，该角才是直角。
忘记单位或写错角度值：计算时注意角度单位统一，避免把 $\frac{1}{2} \times 120^\circ$ 错算成 $70^\circ$ 等低级错误。

💡 例题

圆上有7个点，均匀分布，并按图中方式连接，组成一个七角星。这七个角（星尖）的度数之和是多少度？其中一个角标为 $\alpha$ 。

这七个点把圆周平均分成7段小弧，每段小弧的度数是 $\frac{360^\circ}{7}$ 。

$\angle ACE$ 所对的劣弧是 $\widehat{AE}$ ，它由3段小弧组成，因此

\widehat{AE}=3\cdot \frac{360^\circ}{7}.

。由此得

\angle ACE = 3\cdot \frac{360^\circ}{7} \cdot\frac{1}{ 2} = \frac{3\cdot 180^\circ}{7}.

。每个星尖都是这样对3段小弧的角，所以每个星尖的度数是 $\frac{3\cdot 180^\circ}{7}$ ，七个星尖的度数总和就是 $3\cdot 180^\circ = \boxed{540}$ 度。

$A$ 、 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 是圆上的四个点，线段 $\overline{AC}$ 与 $\overline{BD}$ 相交于点 $P$ ，且满足 $AP=8$ 、 $PC=1$ 和 $BD=6$ 。已知 $BP < DP.$ ，求 $BP$ 。

设 $BP=x$ 为小明， $PD=6-x$ 为小华；
根据圆幂定理，在交点 $x=2$ 处有： $AP \cdot PC = BP \cdot PD$ ＝ $8=x(6-x)$ ；
整理得： $BP < 3$ ；
解这个方程，得到两个解：【MATH_6】和 $x=4$ ；
舍去不符合题意的解【MATH_7】，保留 $BP = \boxed{2}$ 。

✏️ 练习

设 $\triangle ABC$ 是一个直角三角形，其中 $B$ 是直角。以 $BC$ 为直径作一个圆，该圆与边 $AC$ 交于点 $D.$ 。若 $AD = 1$ 且 $BD = 4,$ ，则 $CD$ 等于多少？

设 $\triangle ABC$ 是一个直角三角形，其中 $B$ 是直角。以 $BC$ 为直径作一个圆，该圆与边 $AC$ 交于点 $D.$ 。若 $\triangle ABC$ 的面积是 $150$ ，且 $AC = 25,$ ，那么 $BD$ 是多少？

一个以点 $O$ 为圆心的圆，经过三角形 $ABC$ 的三个顶点（即三角形 $ABC$ 的外接圆），如下图所示：[asy] pair pA, pB, pC, pO; pO = (0, 0); pA = pO + dir(-20); pB = pO + dir(90); pC = pO + dir(190); draw(pA--pB--pC--pA); draw(pO--pA); draw(pO--pB); draw(pO--pC); label(" $O$ ", pO, S); label(" $110^°$ ", pO, NE); label(" $100^°$ ", pO, NW); label(" $A$ ", pA, SE); label(" $B$ ", pB, N); label(" $C$ ", pC, SW); draw(circle(pO, 1)); [/asy]请问 $\angle BAC$ 是多少度？

一个圆经过 $ABCD$ 的四个顶点，如下图所示：[asy] pair pA, pB, pC, pD, pO; pO = (0, 0); pA = pO + dir(-40); pB = pO + dir(40); pC = pO + dir(130); pD = pO + dir(190); draw(pA--pB--pC--pA); draw(pA--pD--pC--pA); label(" $A$ ", pA, SE); label(" $B$ ", pB, NE); label(" $C$ ", pC, NW); label(" $D$ ", pD, SW); draw(circle(pO, 1)); label(" $30^\circ$ ", pA + dir(150) * .45); label(" $40^\circ$ ", pC + dir(-20) * .35); [/asy] 请问 $\angle CAB + \angle ACD$ 等于多少度？

圆 $\Gamma$ 是△ $\triangle ABC$ 的内切圆，同时也是△ $\triangle XYZ$ 的外接圆。点 $X$ 在边 $\overline{BC}$ 上，点 $Y$ 在边 $\overline{AB}$ 上，点 $Z$ 在边 $\overline{AC}$ 上。若∠ $\angle A=40^\circ$ =60°，∠ $\angle B=60^\circ$ =60°，∠ $\angle C=80^\circ$ =60°，求∠ $\angle AYX$ 的度数？