蛋蛋的奥数 | AI 数学伴侣

📘 圆·

⭐⭐

·定理、推论

🎯 学习目标

理解垂径定理的内容及其几何意义
掌握垂径定理的两个主要推论
能运用垂径定理解决与圆相关的计算和证明问题

📚 核心概念

垂径定理是圆的重要性质之一，它描述了直径（或过圆心的直线）与弦之间的垂直关系。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

换句话说，如果在圆中，有一条直径 $AB$ 垂直于弦 $CD$ ，垂足为点 $E$ ，那么就有：

$CE = ED$ （弦被平分）
弧 $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD}$ ，弧 $\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD}$ （弧也被平分）

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

这些结论在解决与圆有关的长度、角度、对称性等问题时非常有用。特别注意：当弦本身就是直径时，上述结论不一定成立，因为任意两条直径都互相平分但不一定垂直。

📝 关键公式

垂径定理：若直径 $AB \perp$ 弦 $CD$ 于点 $E$ ，则 $CE = ED$ ，且弧 $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD}$ 。

推论1：若直径 $AB$ 平分弦 $CD$ （ $CD$ 不是直径），则 $AB \perp CD$ 。

推论2：弦 $CD$ 的垂直平分线必过圆心 $O$ 。

示例：在圆中，若一条直径垂直于长为8的弦，则该弦被分成两段，每段长为 $8 \div 2 = 4$ 。

💡 经典例题

例题1（基础）：如图，在⊙ $O$ 中，直径 $AB$ 垂直于弦 $CD$ 于点 $E$ ，已知 $CD = 10$ ，求 $CE$ 的长。

解：

根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦。
所以 $CE = \dfrac{1}{2} CD = \dfrac{1}{2} \times 10 = 5$ 。
答： $CE = 5$ 。

例题2（进阶）：在⊙ $O$ 中，弦 $AB = 8$ ，圆心 $O$ 到弦 $AB$ 的距离为3，求⊙ $O$ 的半径。

解：

过圆心 $O$ 作 $OC \perp AB$ ，垂足为 $C$ ，则由垂径定理得 $AC = \dfrac{1}{2} AB = 4$ 。
在 $\triangle OAC$ 中， $\angle OCA = 90^\circ$ ， $OC = 3$ ， $AC = 4$ 。
由勾股定理： $OA^2 = OC^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ 。
所以半径 $OA = \sqrt{25} = 5$ 。
答：圆的半径为5。

⚠️ 易错点

误认为任意平分弦的直线都是直径：只有过圆心的直线（即直径所在直线）才能保证垂直于弦。解决方法：始终确认直线是否经过圆心。
忽略“弦不是直径”的条件：推论1中要求被平分的弦不能是直径，否则结论不成立。例如，两条直径互相平分但不一定垂直。解决方法：审题时注意弦是否为直径。
混淆“垂直平分线”与“任意垂线”：只有弦的垂直平分线才一定过圆心；仅垂直但不平分的线不一定过圆心。解决方法：牢记“垂直+平分”缺一不可。
计算时忘记使用勾股定理：在涉及半径、弦长和圆心到弦距离的问题中，常需构造直角三角形。解决方法：主动连接圆心与弦端点，形成直角三角形再计算。

💡 例题

如图所示，两个圆的半径分别为 $8$ 和 $6$ ，圆心相距 $12$ 个单位。在它们的一个交点 $P$ 处，作一条直线，使得它在两圆中截得的弦 $QP$ 和 $PR$ 长度相等。求 $QP$ 长度的平方。

设 $QP=PR=x$ 。∠ $QPA$ 、∠ $APB$ 与∠ $BPR$ 的和为 $180^{\circ}$ 。由余弦定理得： $\angle APB=\cos^{-1}\left(\frac{{-11}}{24}\right)$ 。又∠ $QPA$ ＝ $\cos^{-1}\left(\frac{x}{16}\right)$ ，∠ $BPR$ ＝ $\cos^{-1}\left(\frac{x}{12}\right)$ ，因此有 $\cos^{-1}\left(\frac{x}{16}\right)+\cos^{-1}\left(\frac{{-11}}{24}\right)=180^{\circ}-\cos^{-1}\left(\frac{x}{12}\right).$ 两边取余弦，并利用余弦加法公式及恒等式 $\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x} = 1$ 化简，得 $x^2=\boxed{130}$ 。

下图是一个圆，里面有两条相交的弦，点 $B$ 在劣弧 $AD$ 上。已知圆的半径是 $5$ ， $BC=6$ ，且弦 $AD$ 被 $BC$ 平分。又知从点 $A$ 出发、被 $BC$ 平分的弦只有一条，就是 $AD$ 。由此可知，劣弧 $AB$ 所对的圆心角的正弦值是一个有理数。若把这个有理数写成最简分数 $\frac{m}{n}$ ，那么 $mn$ 等于多少？

题目说“从点 $A$ 出发、被 $BC$ 平分的弦只有一条”，这说明什么？满足什么条件时才成立？
我们考虑从点 $A$ 出发的所有弦的中点的轨迹。这是一个经典结论：这个轨迹是以 $AO$ 为直径的圆，其中 $O$ 是原圆的圆心。理由是：每条弦的中点都是其端点关于圆心 $A$ 按比例 $\frac{1}{2}$ 缩放所得，因此所有中点构成的图形，就是原圆以 $A$ 为位似中心、比例为 $\frac{1}{2}$ 的位似图形。记这个新圆的圆心为 $P$ 。
弦 $AD$ 被 $BC$ 平分，意味着它们在某点 $N$ 相交，且该点在 $P$ 上。又因满足条件的弦唯一，所以 $BC$ 必与圆【MATH_18】相切。
接下来目标是求 $\sin \angle AOB = \sin{\left(\angle AOM - \angle BOM\right)}$ ，其中 $M$ 是 $BC$ 的中点。已知 $BM=3$ 和 $OM=4$ 。设 $R$ 是 $A$ 在 $OM$ 上的投影， $Q$ 是 $P$ 在 $OM$ 上的投影。再求出 $AR$ ，即可用正弦的和角公式 $\sin$ 计算。
因为 $PN$ 是圆 $P$ 的半径，所以 $PN=2.5$ ；同理， $PO=2.5$ 。又因 $OM=4$ ，得 $OQ=OM-QM=OM-PN=4-2.5=1.5$ ，故 $PQ=\sqrt{2.5^2-1.5^2}=2$ 。
再看： $\triangle OAR$ 是以 $O$ 为位似中心、比例为 $2$ 对 $\triangle OPQ$ 作位似变换所得，所以 $AR=2PQ=4$ 。
最后代入公式：

\sin{\left(\angle AOM - \angle BOM\right)} = \sin \angle AOM \cos \angle BOM - \sin \angle BOM \cos \angle AOM = \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right)-\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{7}{25}

。答案是 $7\cdot25=\boxed{175}$ 。

✏️ 练习

两个半径都是10 cm的圆互相重叠，使得每个圆都经过另一个圆的圆心（如图所示）。这两个圆的公共弦（图中虚线段）长多少厘米？结果用最简根式表示。

在图中， $AOB$ 是一个圆的扇形，圆心为 $\angle AOB=60^\circ.$ 。 $OY$ 垂直于 $AB$ ，并与 $AB$ 交于点 $X.$ 。求线段 $XY$ 的长度？[asy] draw((0,0)--(12,0),black+linewidth(1)); draw((0,0)--(10.3923,-6)..(12,0)..(10.3923,6)--(0,0),black+linewidth(1)); draw((10.3923,-6)--(10.3923,6),black+linewidth(1)); label(" $O$ ",(0,0),W); label(" $A$ ",(10.3923,6),N); label(" $B$ ",(10.3923,-6),S); label(" $X$ ",(10.3923,0),NW); label(" $Y$ ",(12,0),E); label("12",(0,0)--(10.3923,6)

两条弦 $AB$ 和 $CD,$ 在圆内相交于点 $P.$ 。已知 $AP = 3$ ， $CP = 8,$ ，求 $\frac{BP}{DP}$ ？

如图所示， $AB$ 是圆的一条直径， $CD$ 是一条与 $AB$ 平行的弦， $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $E$ ，且 $\angle AED = \alpha$ 。则 $\triangle CDE$ 的面积与 $\triangle ABE$ 的面积之比为

一个圆的圆心是 $O$ ，半径为25。弦 $\overline{AB}$ 长30，弦 $\overline{CD}$ 长14，两条弦相交于点 $P$ 。这两条弦中点之间的距离是12。式子 $OP^2$ 可以写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 除以1000的余数。