如果$x^{101} + Ax + B$能被$x^2 + x + 1,$整除，那么每当$x$是$x^2 + x + 1 = 0.$的根时，$x^{101} + Ax + B$必须等于0。

设$\omega$是$x^2 + x + 1 = 0,$的一个根，所以$\omega^2 + \omega + 1 = 0.$。于是

$$(\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0,$$

或$\omega^3 - 1 = 0,$，即$\omega^3 = 1.$。

根据因式定理，

$$\omega^{101} + A \omega + B = 0.$$

我们有$\omega^{101} = \omega^{3 \cdot 33 + 2} = (\omega^3)^{33} \cdot \omega^2 = \omega^2,$，因此

$$\begin{aligned} \omega^{101} + A \omega + B &= \omega^2 + A \omega + B \\ &= (-\omega - 1) + A \omega + B \\ &= (A - 1) \omega + (B - 1) \\ &= 0. \end{aligned}$$

因为$\omega$是非实复数，所以必须有$A = 1$且$B = 1,$，于是$A + B = \boxed{2}.$。

因为$x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)$的次数是$2$，所以余式一定是$ax+b$的形式，其中$a$和$b$是常数。

1. 设除法的商式为$q(x)$，则有： $2x^6-x^4+4x^2-7= (x+1)(x+3)q(x)+ax+b.$
2. 将$x=-1$代入上式，得： $2(-1)^6-(-1)^4+4(-1)^2-7 = 0+a(-1)+b,$ 化简得： $b-a = -2.$
3. 将$x=-3$代入上式，得： $2(-3)^6-(-3)^4+4(-3)^2-7 = 0+a(-3)+b,$ 化简得： $b-3a = 1406.$
4. 解这个方程组，得$a=-704$，$b=-706$，所以余式是$\boxed{-704x-706}$。