韦达定理（根与系数关系）：$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\ x_1x_2=\frac{c}{a}$

📘 一元二次方程·
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💡 例题

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设x,x,、y,y,、zz为实数，且满足

x+y+z=4,x2+y2+z2=6.\begin{aligned} x + y + z &= 4, \\ x^2 + y^2 + z^2 &= 6. \end{aligned}

设mm和MM分别为x,x,的最小值和最大值。求m+M.m + M.。

由已知条件，y+z=4−xy + z = 4 - x和y2+z2=6−x2.y^2 + z^2 = 6 - x^2.。 根据柯西不等式，

(1+1)(y2+z2)≥(y+z)2.(1 + 1)(y^2 + z^2) \ge (y + z)^2.

因此，2(6−x2)≥(4−x)2.2(6 - x^2) \ge (4 - x)^2.。 化简得3x2−8x+4≤0,3x^2 - 8x + 4 \le 0,，因式分解为(x−2)(3x−2)≤0.(x - 2)(3x - 2) \le 0.。 所以，23≤x≤2.\frac{2}{3} \le x \le 2.。

当x=32,x = \frac{3}{2},时，可取y=z=53.y = z = \frac{5}{3}.； 当x=2,x = 2,时，可取y=z=1.y = z = 1.。 于是，m=23m = \frac{2}{3}且M=2,M = 2,，故m+M=83.m + M = \boxed{\frac{8}{3}}.。