待定系数法求函数表达式

📘 二次函数·
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💡 例题

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设f(x)f(x)是一个多项式，且满足

f(x2+1)=x4+4x2.f(x^2 + 1) = x^4 + 4x^2.

求f(x2−1).f(x^2 - 1).。

  1. 设y=x2+1.y = x^2 + 1.。
  2. 则x2=y−1,x^2 = y - 1,，且x4=y2−2y+1,x^4 = y^2 - 2y + 1,，所以
f(y)=(y2−2y+1)+4(y−1)=y2+2y−3.f(y) = (y^2 - 2y + 1) + 4(y - 1) = y^2 + 2y - 3.
  1. 因此，
f(x2−1)=(x2−1)2+2(x2−1)−3=x4−4.f(x^2 - 1) = (x^2 - 1)^2 + 2(x^2 - 1) - 3 = \boxed{x^4 - 4}.