已知椭圆中，$a = 5$且$b = 3,$，所以$c = \sqrt{a^2 - b^2} = 4.$。可取$F = (4,0).$。

设$A = (x,y).$，则$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$，且

$$(x - 4)^2 + y^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}.$$

解$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1,$中的$y^2$，得

$$y^2 = \frac{225 - 9x^2}{25}.$$

代入得

$$(x - 4)^2 + \frac{225 - 9x^2}{25} = \frac{9}{4}.$$

化简为$64x^2 - 800x + 2275 = 0,$，因式分解为$(8x - 65)(8x - 35) = 0.$。由于$x \le 5,$，故$x = \frac{35}{8}.$。于是

$$\frac{(35/8)^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1.$$

解得$y^2 = \frac{135}{64},$，所以$y = \frac{\sqrt{135}}{8} = \pm \frac{3 \sqrt{15}}{8}.$。可取$y = \frac{3 \sqrt{15}}{8}.$。

因此，直线$AB$的斜率为

$$\frac{\frac{3 \sqrt{15}}{8}}{\frac{35}{8} - 4} = \sqrt{15},$$

，其方程为

$$y = \sqrt{15} (x - 4).$$

要求$B,$，将上式代入椭圆方程，得

$$\frac{x^2}{25} + \frac{15 (x - 4)^2}{9} = 1.$$

化简为$128x^2 - 1000x + 1925 = 0.$。虽然可尝试因式分解，但我们知道$x = \frac{35}{8}$是一个解（因为这是求直线与椭圆的交点，而$A$是其中一个交点）。由韦达定理，另一个解为

$$x = \frac{1000}{128} - \frac{35}{8} = \frac{55}{16}.$$

于是$y = \sqrt{15} (x - 4) = -\frac{9 \sqrt{15}}{16}.$。因此，

$$BF = \sqrt{ \left( \frac{55}{16} - 4 \right)^2 + \left( -\frac{9 \sqrt{15}}{16} \right)^2} = \boxed{\frac{9}{4}}.$$

1. 双曲线方程可写为

$$\frac{x^2}{144/25} - \frac{y^2}{81/25} = 1,$$

，因此双曲线中$a = \frac{12}{5}$，$b = \frac{9}{5}.$。 2. 于是

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\frac{144}{25} + \frac{81}{25}} = 3.$$

，所以双曲线的焦点在$(\pm 3,0).$。 3. 椭圆中$a^2 = 16,$，因此

$$b^2 = a^2 - c^2 = 16 - 9 = \boxed{7}.$$

。