二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a \neq 0$）。它的图像是抛物线，这是一种对称的曲线。

开口方向由二次项系数 $a$ 决定：

• 当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上，像一个“U”字；
• 当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下，像一个倒“U”字。

对称轴是抛物线左右对称的直线，所有点关于这条直线对称。对称轴的公式是：

这条直线穿过抛物线的顶点（最高点或最低点）。

例如，函数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ 中，$a = 2 > 0$，所以开口向上；对称轴是 $x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1$。

记住：只要知道 $a$ 和 $b$，就能确定开口方向和对称轴，这对画图和分析函数性质非常重要。

• 一般式：$y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）
  • 示例：$y = -x^2 + 3x - 2$
• 对称轴公式：$x = -\dfrac{b}{2a}$
  • 示例：对于 $y = 3x^2 - 6x + 1$，对称轴为 $x = -\dfrac{-6}{2 \times 3} = 1$
• 开口方向判断：若 $a > 0$，开口向上；若 $a < 0$，开口向下
  • 示例：$y = -2x^2$ 中 $a = -2 < 0$，开口向下

例题1：判断函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 的开口方向，并求其对称轴。

解：

1. 观察一般式，可知 $a = 1$，$b = -4$。
2. 因为 $a = 1 > 0$，所以抛物线开口向上。
3. 对称轴公式为 $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-4}{2 \times 1} = \dfrac{4}{2} = 2$。
4. 所以对称轴是直线 $x = 2$。

例题2：已知二次函数 $y = -2x^2 + 8x - 5$，求其开口方向和对称轴。

解：

1. 从表达式中得 $a = -2$，$b = 8$。
2. 因为 $a = -2 < 0$，所以抛物线开口向下。
3. 对称轴为 $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{8}{2 \times (-2)} = -\dfrac{8}{-4} = 2$。
4. 所以对称轴是直线 $x = 2$。

• 混淆 $a$ 的正负与开口方向：误以为 $a$ 越大开口越大。实际上，$|a|$ 越大开口越窄，但方向只看正负。记住：“正上负下”。
• 对称轴公式记错符号：常写成 $x = \frac{b}{2a}$。正确是 $x = -\frac{b}{2a}$，注意前面有个负号！可代入具体数字验证。
• 忽略 $a \neq 0$ 的条件：如果 $a = 0$，就不是二次函数了，图像也不是抛物线。做题前先确认是否为二次函数。
• 把对称轴当成点：对称轴是一条直线（如 $x = 2$），不是坐标点 $(2, 0)$。画图时要画竖直线。