在平面直角坐标系中，我们用一对有序实数 $(x, y)$ 来表示平面上的一个点，其中 $x$ 叫做横坐标，$y$ 叫做纵坐标。横轴（通常叫 $x$ 轴）水平向右为正方向，纵轴（通常叫 $y$ 轴）竖直向上为正方向，两轴交点称为原点，记作 $(0, 0)$。

要描出一个点，比如 $(3, -2)$，先从原点出发，沿 $x$ 轴向右走 3 个单位（因为横坐标是 3），再沿垂直方向向下走 2 个单位（因为纵坐标是 -2），落脚的位置就是该点。

如果已知两个点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，它们之间的距离可以用距离公式计算：

这个公式来源于勾股定理。想象把两点连成一条线段，再分别向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线，就构成一个直角三角形，两条直角边分别是横纵坐标之差的绝对值，斜边就是两点间的距离。

• 点的坐标表示：点 $P$ 的位置记作 $(x, y)$。

  • 示例：$(2, 5)$ 表示横坐标为 2、纵坐标为 5 的点。

• 两点间距离公式：若 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则

• 示例：$A(1, 2)$，$B(4, 6)$，则 $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。

例题1（基础）：在平面直角坐标系中描出点 $A(-2, 3)$ 和点 $B(0, -1)$。

解题过程：

1. 描点 $A(-2, 3)$：从原点向左走 2 个单位（横坐标 -2），再向上走 3 个单位（纵坐标 3），标记该点为 $A$。
2. 描点 $B(0, -1)$：横坐标为 0，说明在 $y$ 轴上；纵坐标为 -1，从原点向下走 1 个单位，标记为 $B$。

例题2（进阶）：已知点 $P(1, -2)$ 和点 $Q(4, 2)$，求 $PQ$ 的长度。

解题过程：

1. 写出两点坐标：$P(x_1, y_1) = (1, -2)$，$Q(x_2, y_2) = (4, 2)$。
2. 代入距离公式：

3. 计算得 $PQ = 5$。 所以，点 $P$ 与点 $Q$ 之间的距离是 5 个单位。

• 混淆横纵坐标顺序：总是先写横坐标 $x$，再写纵坐标 $y$，即 $(x, y)$。记错顺序会导致点画错位置。避免方法：牢记“先左右（x），后上下（y）”。

• 描点时方向错误：负的横坐标应向左，负的纵坐标应向下。常见错误是把 $(-3, 2)$ 画到右边。避免方法：画图前先判断符号。

• 距离公式中忘记平方或开根号：有人直接算 $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$，这是曼哈顿距离，不是直线距离。正确做法必须先平方再相加后开方。

• 代入公式时符号出错：例如 $y_2 - y_1 = 2 - (-3)$ 应等于 5，但常被误算为 -1。避免方法：写清楚每一步，特别注意负负得正。