平面直角坐标系是由两条互相垂直、原点重合的数轴组成的图形工具。水平的数轴叫x轴（横轴），向右为正方向；竖直的数轴叫y轴（纵轴），向上为正方向。两轴交点称为原点，记作 $O(0, 0)$。

平面上任意一点的位置可以用一对有序实数 $(x, y)$ 表示，叫做该点的坐标。其中 $x$ 是横坐标，表示点到 $y$ 轴的距离和方向；$y$ 是纵坐标，表示点到 $x$ 轴的距离和方向。

坐标轴把平面分成四个区域，叫做象限：

• 第一象限：$x > 0$，$y > 0$
• 第二象限：$x < 0$，$y > 0$
• 第三象限：$x < 0$，$y < 0$
• 第四象限：$x > 0$，$y < 0$

注意：坐标轴上的点（即 $x=0$ 或 $y=0$ 的点）不属于任何象限。

• 点的坐标表示：点 $P$ 的坐标写作 $(x, y)$。

  • 示例：点 $A(3, -2)$ 表示横坐标为 3，纵坐标为 -2。

• 原点坐标：原点 $O$ 的坐标是 $(0, 0)$。

  • 示例：所有坐标轴的交点就是 $(0, 0)$。

• 坐标轴上点的特征：

  • 在 $x$ 轴上的点：$(x, 0)$
  • 在 $y$ 轴上的点：$(0, y)$
  • 示例：点 $(5, 0)$ 在 $x$ 轴上；点 $(0, -4)$ 在 $y$ 轴上。

例题1：指出下列各点所在的象限或坐标轴：$A(2, 3)$，$B(-1, 4)$，$C(-3, -2)$，$D(0, 5)$，$E(4, 0)$。

解：

1. 点 $A(2, 3)$：$x=2>0$，$y=3>0$ → 第一象限。
2. 点 $B(-1, 4)$：$x=-1<0$，$y=4>0$ → 第二象限。
3. 点 $C(-3, -2)$：$x=-3<0$，$y=-2<0$ → 第三象限。
4. 点 $D(0, 5)$：$x=0$ → 在 $y$ 轴上（不属于任何象限）。
5. 点 $E(4, 0)$：$y=0$ → 在 $x$ 轴上（不属于任何象限）。

例题2：在平面直角坐标系中描出点 $P(-2, 1)$ 和点 $Q(0, -3)$，并说明它们的位置。

解：

1. 描点 $P(-2, 1)$：
   • 从原点向左移动 2 个单位（因为 $x = -2$），
   • 再向上移动 1 个单位（因为 $y = 1$），
   • 得到点 $P$，位于第二象限。
2. 描点 $Q(0, -3)$：
   • 横坐标为 0，说明在 $y$ 轴上，
   • 纵坐标为 -3，说明从原点向下移动 3 个单位，
   • 得到点 $Q$，在 $y$ 轴负半轴上（不属于任何象限）。

• 混淆横纵坐标顺序：误把 $(y, x)$ 当作点的坐标。应牢记“先横后纵”，即 $(x, y)$。
• 误判坐标轴上的点属于某象限：如认为 $(0, 2)$ 在第一象限。记住：只要 $x=0$ 或 $y=0$，点就在坐标轴上，不属于任何象限。
• 符号错误：例如把点 $(-3, 2)$ 画到第四象限。应先看 $x$ 的正负确定左右，再看 $y$ 的正负确定上下。
• 忽略原点特殊性：原点 $(0, 0)$ 同时在 $x$ 轴和 $y$ 轴上，但不属于任何象限。