在几何图形初步中，我们重点学习矩形、线段中点、距离公式以及正切函数的应用。

矩形的性质：矩形是一种特殊的平行四边形，具有以下特点：四个角都是直角（90°），对边相等且平行，对角线相等且互相平分。这些性质常用于证明或计算长度与角度。

线段中点：若线段两端点坐标为 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，则其中点 $M$ 的坐标为

。

距离公式：平面内两点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 之间的距离为

。

正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角 $\theta$，其正切值定义为对边与邻边的比，即

。这个关系可用于已知角度和一边求另一边。

1. 矩形对角线相等：若矩形长为 $a$，宽为 $b$，则对角线长为 $\sqrt{a^2 + b^2}$。

示例：长6，宽8的矩形，对角线长为 $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$。

2. 中点公式：中点 $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$。

示例：点 $A(2, 4)$、$B(6, 8)$ 的中点为 $(4, 6)$。

3. 距离公式：$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。

示例：$A(1, 1)$ 到 $B(4, 5)$ 的距离为 $\sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = 5$。

4. 正切定义：$\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$。

示例：在直角三角形中，若 $\angle A = 30^\circ$，邻边为 $\sqrt{3}$，则对边为 $\tan 30^\circ \times \sqrt{3} = 1$。

例题1（基础）：矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$BC = 8$。求对角线 $AC$ 的长度。

解：

1. 矩形四个角为直角，故 $\triangle ABC$ 是直角三角形，$\angle B = 90^\circ$。
2. 应用勾股定理（或距离公式）：

3. 答：对角线 $AC$ 长为 10。

例题2（综合）：在平面直角坐标系中，点 $A(0, 0)$，点 $B(6, 0)$，点 $C(6, 8)$ 构成直角三角形 $ABC$（$\angle B = 90^\circ$）。求： (1) $AC$ 的中点 $M$ 坐标； (2) $\tan \angle CAB$ 的值。

解： (1) 由中点公式：

(2) 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle CAB$ 的对边是 $BC = 8$，邻边是 $AB = 6$，所以：

答：(1) 中点为 $(3, 4)$；(2) $\tan \angle CAB = \frac{4}{3}$。

• 混淆对边与邻边：在使用正切时，必须明确所求角的对边和邻边。避免方法：先标出直角三角形中的目标角，再确定哪条边对着它（对边），哪条边与它相邻且不是斜边（邻边）。
• 中点公式记错顺序：误写成 $\left( \frac{x_1 - x_2}{2}, \frac{y_1 - y_2}{2} \right)$。避免方法：记住“平均”思想——中点就是两个坐标的平均值。
• 距离公式漏开根号：算完平方和后忘记开平方。避免方法：牢记距离是长度，必须是非负实数，且公式中有 $\sqrt{}$。
• 误用矩形性质：认为所有平行四边形对角线都相等。避免方法：强调只有矩形（及正方形）才有“对角线相等”的性质。