在直角三角形中，高是指从一个顶点向对边（或其延长线）作垂线所得的线段。由于直角三角形有一个90°的角，因此它有三条高：

• 从直角顶点向斜边作的高（这是最常考察的）；
• 两条直角边本身就是另外两个顶点对应的高。

特别地，设直角三角形的两条直角边分别为 $a$ 和 $b$，斜边为 $c$，斜边上的高为 $h$。我们可以用面积法来求 $h$：

三角形的面积可以用两种方式表示：

1. 用直角边计算：$S = \frac{1}{2}ab$
2. 用斜边和其上的高计算：$S = \frac{1}{2}ch$

令两者相等，得：

这个公式非常实用，尤其在已知三边或两边时快速求高。同时，结合勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2$，可以解决更复杂的问题。

• 面积法求斜边上的高：若直角边为 $a, b$，斜边为 $c$，则高 $h = \dfrac{ab}{c}$。

  • 示例：$a=3$, $b=4$, 则 $c=5$，所以 $h = \dfrac{3 \times 4}{5} = \dfrac{12}{5} = 2.4$。

• 勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$（用于先求斜边）。

  • 示例：已知 $a=6$, $b=8$，则 $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$。

• 直角边即为高：在直角三角形中，直角边 $a$ 是顶点 $B$ 到边 $AC$ 的高（假设 $\angle C = 90^\circ$）。

例题1（基础）：已知直角三角形的两条直角边分别为6 cm和8 cm，求斜边上的高。

解：

1. 先用勾股定理求斜边 $c$：

2. 再用面积法求高 $h$：

答：斜边上的高是4.8 cm。

例题2（进阶）：在Rt△ABC中，∠C = 90°，斜边AB = 13 cm，斜边上的高CD = 60/13 cm。求两条直角边AC和BC的长。

解：

1. 设 $AC = b$，$BC = a$，则由面积法：

所以 $ab = 60$。 2. 又由勾股定理：$a^2 + b^2 = 13^2 = 169$。 3. 联立：

注意 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 169 + 120 = 289 \Rightarrow a + b = 17$， $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 169 - 120 = 49 \Rightarrow |a - b| = 7$。 4. 解得两数为5和12（因为和为17，差为7）。 答：两条直角边分别为5 cm和12 cm。

• 误认为高一定在三角形内部：实际上，在钝角三角形中高可能在外部，但在直角三角形中，三条高都在边上或内部（斜边上的高在内部，直角边本身就是高）。

• 混淆哪条边对应哪个高：要明确“高是相对于某条边而言的”。例如，斜边上的高是从直角顶点引出的，不是从锐角顶点。

• 忘记先求斜边就直接套公式：使用 $h = \frac{ab}{c}$ 前必须知道 $c$，若只给两条直角边，需先用勾股定理求 $c$。

• 面积计算错误：注意面积公式是 $\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$，漏掉 $\frac{1}{2}$ 会导致结果翻倍。

• 单位不统一或忽略单位：题目中若有单位（如cm、m），答案必须带单位，且计算前确保单位一致。