一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式。其一般形式为 $ax + b > 0$、$ax + b < 0$、$ax + b \geq 0$ 或 $ax + b \leq 0$（其中 $a \neq 0$）。解一元一次不等式的目标是找出所有使不等式成立的未知数的取值，这些取值构成的集合称为解集。

解一元一次不等式的基本思想与解一元一次方程类似，主要通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤进行。但有一个关键区别：当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向必须改变。例如，若 $-2x > 4$，两边同除以 $-2$，应得 $x < -2$，而不是 $x > -2$。

解集通常用区间或数轴表示。比如 $x > 3$ 的解集在数轴上用从3向右的射线表示，且3处画空心圆点（因为不包含3）；而 $x \leq -1$ 则在 $-1$ 处画实心圆点，并向左画射线。

• 基本形式：$ax + b > 0$（或 $<, \geq, \leq$），其中 $a \neq 0$。
  • 示例：$3x - 6 \leq 0$
• 不等式性质（变号规则）：若 $a < b$ 且 $c < 0$，则 $ac > bc$。
  • 示例：由 $-2x > 4$ 得 $x < -2$
• 解集表示：
  • $x > a$ 表示为 $(a, +\infty)$
  • $x \leq a$ 表示为 $(-\infty, a]$
  • 示例：$x \geq 5$ 的解集为 $[5, +\infty)$

例题1（基础）：解不等式 $2x - 5 < 7$，并在数轴上表示解集。

解：

1. 移项：$2x < 7 + 5$ → $2x < 12$
2. 系数化为1：两边同除以2（正数，不等号方向不变）→ $x < 6$
3. 解集为所有小于6的实数，在数轴上从6向左画射线，6处画空心圆点。

例题2（进阶）：解不等式 $-3(x + 2) \geq 9$，并写出解集。

解：

1. 去括号：$-3x - 6 \geq 9$
2. 移项：$-3x \geq 9 + 6$ → $-3x \geq 15$
3. 系数化为1：两边同除以 $-3$（负数！不等号方向改变）→ $x \leq -5$
4. 解集为 $(-\infty, -5]$，在数轴上从 $-5$ 向左画射线，$-5$ 处画实心圆点。

• 忘记变号：当两边同乘或除以负数时未改变不等号方向。避免方法：每做一步检查是否涉及负数运算，若有，立即翻转不等号。
• 混淆等号与不等号：解方程习惯导致忽略不等式解是一个范围。避免方法：始终思考“哪些数满足这个条件”，并用数轴验证。
• 数轴表示错误：空心/实心圆点用错。避免方法：记住“>”或“<”用空心（不包含端点），“≥”或“≤”用实心（包含端点）。
• 移项符号错误：如将 $2x - 5 < 7$ 移项写成 $2x < 7 - 5$。避免方法：移项要变号，可先加5到两边再整理。