不等式的性质是解不等式的基础。主要有两类：加减性质和乘除性质。

加减性质：如果 $a > b$，那么对任意实数 $c$，都有：

• $a + c > b + c$
• $a - c > b - c$ 也就是说，在不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不会改变。

乘除性质分为两种情况：

1. 如果 $a > b$，且 $c > 0$（正数），那么：
   • $ac > bc$
   • $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ 不等号方向不变。
2. 如果 $a > b$，且 $c < 0$（负数），那么：
   • $ac < bc$
   • $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ 此时，不等号方向要改变！

这些性质同样适用于 $<$、$\geq$、$\leq$ 等其他不等号。记住：只有乘或除负数时才变号，加减永远不变号。

• 加法性质：若 $a > b$，则 $a + c > b + c$。例如：$5 > 3$，两边加2得 $7 > 5$。
• 减法性质：若 $a > b$，则 $a - c > b - c$。例如：$6 > 4$，两边减1得 $5 > 3$。
• 乘正数性质：若 $a > b$ 且 $c > 0$，则 $ac > bc$。例如：$4 > 2$，两边乘3得 $12 > 6$。
• 乘负数性质：若 $a > b$ 且 $c < 0$，则 $ac < bc$。例如：$5 > 3$，两边乘$-2$得 $-10 < -6$。
• 除负数性质：若 $a > b$ 且 $c < 0$，则 $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$。例如：$8 > 4$，两边除以$-2$得 $-4 < -2$。

例题1：已知 $x - 3 > 5$，求 $x$ 的取值范围。

解：

1. 原不等式为 $x - 3 > 5$。
2. 根据加法性质，两边同时加3（不变号）：

3. 化简得：$x > 8$。
4. 所以解集为 $x > 8$。

例题2：解不等式 $-2x + 4 \leq 10$。

解：

1. 先移项：两边同时减4（加减性质，不变号）：

得 $-2x \leq 6$。 2. 两边同时除以 $-2$。注意：除以负数，必须改变不等号方向！

3. 化简得：$x \geq -3$。
4. 所以解集为 $x \geq -3$。

• 忘记乘除负数时要变号：这是最常见错误。解决方法：每次乘或除负数时，刻意提醒自己“变号！”并用红笔标出。
• 混淆加减与乘除的规则：误以为加减也会变号。记住口诀：“加减不变，乘除看正负”。
• 在移项时不等号写错：移项本质是加减运算，不等号方向不变。建议先写出完整步骤，不要跳步。
• 两边同除以含字母的式子时未讨论正负：初中阶段一般避免此类问题，但如果遇到，需分情况讨论（如 $ax > b$ 中 $a$ 可能正可能负）。
• 解完不等式后不写解集或写反方向：养成习惯，最后检查一遍不等号是否合理，比如代入一个边界附近的数验证。