二次函数的最值

📘 二次函数·
⭐⭐⭐
·顶点法、配方法

🎯 学习目标

  • 理解二次函数图像的开口方向与最值的关系
  • 掌握用顶点公式和配方法求二次函数的最值
  • 能解决实际问题中涉及二次函数最值的应用题

📚 核心概念

二次函数的一般形式是 y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c（其中 a≠0a \neq 0）。它的图像是抛物线。当 a>0a > 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a<0a < 0 时，开口向下，函数有最大值。这个最值出现在抛物线的顶点处。

顶点的横坐标可以用公式 x=−b2ax = -\frac{b}{2a} 求出，代入原函数即可得到最值（纵坐标）。这种方法称为顶点法。

另一种方法是配方法：将二次函数写成顶点式 y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 (h,k)(h, k) 就是顶点坐标。因为平方项 (x−h)2≥0(x - h)^2 \geq 0，所以当 a>0a > 0 时，yy 的最小值是 kk；当 a<0a < 0 时，yy 的最大值是 kk。

例如，函数 y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 可配方为 y=(x−2)2−1y = (x - 2)^2 - 1，所以顶点是 (2,−1)(2, -1)，最小值是 −1-1。

📝 关键公式

  • 顶点横坐标公式：x=−b2ax = -\dfrac{b}{2a}

    • 示例：y=2x2−8x+5y = 2x^2 - 8x + 5，则 x=−−82×2=2x = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = 2

  • 顶点式（配方法结果）：y=a(x−h)2+ky = a(x - h)^2 + k，顶点为 (h,k)(h, k)

    • 示例：y=(x+1)2+3y = (x + 1)^2 + 3，顶点为 (−1,3)(-1, 3)

  • 最值判断：若 a>0a > 0，最小值为 kk；若 a<0a < 0，最大值为 kk

    • 示例：y=−3(x−4)2+7y = -3(x - 4)^2 + 7，因 a=−3<0a = -3 < 0，最大值为 77

💡 经典例题

例题1（基础）：求函数 y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5 的最小值。

解：

  1. 方法一（顶点法）：

    • 这里 a=1a = 1, b=−6b = -6, c=5c = 5
    • 顶点横坐标：x=−b2a=−−62×1=3x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2 \times 1} = 3
    • 代入原式：y=32−6×3+5=9−18+5=−4y = 3^2 - 6 \times 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4
    • 所以最小值是 −4-4

  2. 方法二（配方法）：

    • y=x2−6x+5=(x2−6x+9)−9+5=(x−3)2−4y = x^2 - 6x + 5 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4
    • 因为 (x−3)2≥0(x - 3)^2 \geq 0，所以 y≥−4y \geq -4，最小值为 −4-4

例题2（进阶）：用长为 20 米的篱笆围成一个矩形菜园，一边靠墙（不需篱笆），求菜园的最大面积。

解：

  1. 设垂直于墙的边长为 xx 米，则平行于墙的边长为 20−2x20 - 2x 米（因为总篱笆长为 x+x+(20−2x)=20x + x + (20 - 2x) = 20）
  2. 面积 S=x(20−2x)=−2x2+20xS = x(20 - 2x) = -2x^2 + 20x
  3. 这是一个二次函数，a=−2<0a = -2 < 0，所以有最大值
  4. 用顶点法：x=−202×(−2)=5x = -\dfrac{20}{2 \times (-2)} = 5
  5. 最大面积 S=−2×52+20×5=−50+100=50S = -2 \times 5^2 + 20 \times 5 = -50 + 100 = 50（平方米）
  6. 答：最大面积是 50 平方米

⚠️ 易错点

  • 混淆最大值和最小值：忘记根据 aa 的正负判断最值类型。记住：a>0a > 0 是最小值，a<0a < 0 是最大值。

  • 配方法符号错误：如 x2−4xx^2 - 4x 配方时，应加 (42)2=4(\frac{4}{2})^2 = 4，但常有人误加或漏减。正确做法：x2−4x=(x−2)2−4x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4。

  • 顶点横坐标公式记错：容易把 −b2a-\frac{b}{2a} 写成 b2a\frac{b}{2a}。建议多练习并理解推导过程。

  • 实际问题忽略定义域：如例题2中，xx 必须满足 0<x<100 < x < 10，不能直接套公式而不检查合理性。

  • 代入计算出错：求出顶点横坐标后，代入原函数算纵坐标时粗心算错。建议验算或用配方法交叉验证。

💡 例题

1

定义函数h(x),h(x),，其中x,x,为正整数，规则如下：

h(x)={log⁡2x if log⁡2x is an integer1+h(x+1) otherwise.h(x) = \left\{\begin{aligned} \log_2 x & \quad \text{ if } \log_2 x \text{ is an integer} \\ 1 + h(x + 1) & \quad \text{ otherwise}. \end{aligned} \right.

求h(100).h(100).的值。

  1. 先用定义的第二部分计算：
h(100)=1+h(101)=2+h(102)=3+h(103)=⋯=28+h(128).h(100) = 1 + h(101) = 2 + h(102) = 3 + h(103) = \dots = 28 + h(128).
  1. 因为128=27,128 = 2^7,，所以用定义的第一部分继续算：
h(100)=28+7=35.h(100) = 28 + 7 = \boxed{35}.
2

求和式

∑z1∣1−z∣2 ,\sum_z \frac{1}{{\left|1 - z\right|}^2} \, ,

的值，其中zz取遍方程z7=−1z^7 = -1的所有7个解（包括实数解和非实数解）。

因为z7=−1,z^7 = -1, ∣z7∣=1.|z^7| = 1.，所以∣z∣7=1,|z|^7 = 1,，即∣z∣=1.|z| = 1.；再得zz‾=∣z∣2=1,z \overline{z} = |z|^2 = 1,，即z‾=1z.\overline{z} = \frac{1}{z}.。 因此，

1∣1−z∣2=1(1−z)(1−z‾)=1(1−z)(1−z‾)=1(1−z)(1−1z)=z(1−z)(z−1)=−z(z−1)2.\begin{aligned} \frac{1}{|1 - z|^2} &= \frac{1}{(1 - z)(\overline{1 - z})} \\ &= \frac{1}{(1 - z)(1 - \overline{z})} \\ &= \frac{1}{(1 - z)(1 - \frac{1}{z})} \\ &= \frac{z}{(1 - z)(z - 1)} \\ &= -\frac{z}{(z - 1)^2}. \end{aligned}

令z=1w+1.z = \frac{1}{w} + 1.，则

−z(z−1)2=−1w+11w2=−w−w2.-\frac{z}{(z - 1)^2} = -\frac{\frac{1}{w} + 1}{\frac{1}{w^2}} = -w - w^2.

由z7=−1,z^7 = -1,得

(1w+1)7=−1.\left( \frac{1}{w} + 1 \right)^7 = -1.

于是(1+w)7=−w7.(1 + w)^7 = -w^7.。展开得

2w7+7w6+21w5+35w4+35w3+21w2+7w+1=0.2w^7 + 7w^6 + 21w^5 + 35w^4 + 35w^3 + 21w^2 + 7w + 1 = 0.

设z7=−1z^7 = -1的根为z1,z_1,、z2,z_2,、…,\dots,、z7,z_7,，并令wkw_k为对应的zk,z_k,值，即zk=1wk+1.z_k = \frac{1}{w_k} + 1.。则

∑k=171∣1−zk∣2=∑k=17(−wk−wk2).\sum_{k = 1}^7 \frac{1}{|1 - z_k|^2} = \sum_{k = 1}^7 (-w_k - w_k^2).

由韦达定理，w1+w2+⋯+w7=−72w_1 + w_2 + \dots + w_7 = -\frac{7}{2}且w1w2+w1w3+⋯+w6w7=212.w_1 w_2 + w_1 w_3 + \dots + w_6 w_7 = \frac{21}{2}.。将等式w1+w2+⋯+w7=−72,w_1 + w_2 + \dots + w_7 = -\frac{7}{2},两边平方，得

w12+w22+⋯+w72+2(w1w2+w1w3+⋯+w6w7)=494.w_1^2 + w_2^2 + \dots + w_7^2 + 2(w_1 w_2 + w_1 w_3 + \dots + w_6 w_7) = \frac{49}{4}.

于是

w12+w22+⋯+w72=494−2(w1w2+w1w3+⋯+w6w7)=494−2⋅212=−354.w_1^2 + w_2^2 + \dots + w_7^2 = \frac{49}{4} - 2(w_1 w_2 + w_1 w_3 + \dots + w_6 w_7) = \frac{49}{4} - 2 \cdot \frac{21}{2} = -\frac{35}{4}.

因此，

∑k=17(−wk−wk2)=72+354=494.\sum_{k = 1}^7 (-w_k - w_k^2) = \frac{7}{2} + \frac{35}{4} = \boxed{\frac{49}{4}}.

✏️ 练习

1

求所有实数a a，使得不等式∣x2+2ax+3a∣≤2 |x^2 + 2ax + 3a|\le2在x x中恰好有一个解。

2

对于整数aa和T,T,，抛物线的一般方程为y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c，且经过点A=(0,0),A = (0,0),、B=(2T,0),B = (2T,0),和C=(2T+1,28).C = (2T + 1,28).。设NN为抛物线顶点坐标的和。求N.N.的最大值。

3

设aa和bb为正实数。求

2(a−x)(x+x2+b2)2(a - x)(x + \sqrt{x^2 + b^2})

关于aa和b.b.的最大值。

4

设A=(1,0),A = (1,0),、B=(4,3),B = (4,3),和C=(p,q)C = (p,q)是抛物线y=−x2+6x−5,y = -x^2 + 6x - 5,上的三个点，其中1≤p≤4.1 \le p \le 4.。求三角形ABC.ABC.的最大可能面积。

5

假设ff和gg是满足f−1(g(x))=5x+3f^{-1}(g(x))=5x+3的两个函数。求g−1(f(−7))g^{-1}(f(-7))。