二次函数有两种常用表达形式：一般式和顶点式。

• 一般式为 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a \neq 0$），它便于看出函数是否为二次函数，也方便代入具体数值计算。
• 顶点式为 $y = a(x - h)^2 + k$，这种形式直接告诉我们抛物线的顶点坐标是 $(h, k)$，对称轴是直线 $x = h$。当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当 $a < 0$ 时，开口向下，顶点是最高点。

两者可以互相转化：

• 从一般式转顶点式，通常使用配方法，即把 $ax^2 + bx + c$ 配成 $a(x - h)^2 + k$ 的形式。
• 从顶点式转一般式，只需展开平方项并合并同类项即可。

例如，$y = 2(x - 3)^2 + 1$ 是顶点式，顶点为 $(3, 1)$；展开后得到 $y = 2x^2 - 12x + 19$，这就是一般式。

• 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，顶点为 $(h, k)$。 示例：$y = (x - 2)^2 + 5$ 的顶点是 $(2, 5)$。

• 一般式：$y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）。 示例：$y = 3x^2 - 6x + 2$ 是一般式。

• 配方法公式：将 $y = ax^2 + bx + c$ 化为顶点式时，先提取 $a$，再配方：

示例：$y = x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 + 3$。

例题1（由顶点式化为一般式）

将 $y = -2(x + 1)^2 + 3$ 化为一般式。

解：

1. 先展开平方项：$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$
2. 乘以系数 $-2$：$-2(x^2 + 2x + 1) = -2x^2 - 4x - 2$
3. 再加上常数项 $+3$：$y = -2x^2 - 4x - 2 + 3 = -2x^2 - 4x + 1$
4. 所以一般式为：$y = -2x^2 - 4x + 1$

例题2（由一般式化为顶点式）

将 $y = x^2 - 6x + 5$ 化为顶点式，并写出顶点坐标。

解：

1. 提取二次项系数（此处为1，可省略）
2. 对 $x^2 - 6x$ 进行配方：
   • 一次项系数为 $-6$，一半是 $-3$，平方是 $9$
   • 所以 $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$
3. 原式变为：$y = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$
4. 因此顶点式为 $y = (x - 3)^2 - 4$，顶点坐标是 $(3, -4)$

• 符号错误：在顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$ 中，顶点横坐标是 $h$，不是 $-h$。例如 $y = (x + 2)^2$ 实际上是 $y = (x - (-2))^2$，顶点横坐标是 $-2$，不是 $2$。
• 配方时漏掉系数：若二次项系数 $a \neq 1$（如 $y = 2x^2 + 8x + 5$），必须先提取 $a$ 再配方，否则会出错。
• 展开平方项出错：如 $(x - 3)^2$ 错写成 $x^2 - 9$，正确应为 $x^2 - 6x + 9$。
• 忘记合并常数项：配方后要记得把多加或少减的常数调整回来，确保等式恒成立。
• 混淆顶点坐标顺序：顶点是 $(h, k)$，先横后纵，不要写反。