有理数加减乘除运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）

📘 有理数·
⭐⭐

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💡 例题

1

设x1,x_1,、x2,x_2,、x3x_3为正实数，且满足x1+2x2+3x3=60.x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 60.。求

x12+x22+x32.x_1^2 + x_2^2 + x_3^2.

的最小可能值。

  1. 由柯西-施瓦茨不等式，
(1+4+9)(x12+x22+x32)≥(x1+2x2+3x3)2=602,(1 + 4 + 9)(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) \ge (x_1 + 2x_2 + 3x_3)^2 = 60^2,

所以x12+x22+x32≥360014=18007.x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \ge \frac{3600}{14} = \frac{1800}{7}.。 2. 等号成立当且仅当x1=x22=x33x_1 = \frac{x_2}{2} = \frac{x_3}{3}且x1+2x2+3x3=60.x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 60.。 3. 解得：x1=307,x_1 = \frac{30}{7},、x2=607,x_2 = \frac{60}{7},、x3=907.x_3 = \frac{90}{7}.。 4. 因此，最小可能值是18007.\boxed{\frac{1800}{7}}.。

2

数字a1,a_1, a2,a_2, a3,a_3, b1,b_1, b2,b_2, b3,b_3, c1,c_1, c2,c_2, c3c_3与数字1,1, 2,2, 3,3, …,\dots, 99以某种顺序相等。求

a1a2a3+b1b2b3+c1c2c3.a_1 a_2 a_3 + b_1 b_2 b_3 + c_1 c_2 c_3.

的最小可能值。

  1. 设S=a1a2a3+b1b2b3+c1c2c3.S = a_1 a_2 a_3 + b_1 b_2 b_3 + c_1 c_2 c_3.。
  2. 由均值不等式（AM-GM），
S≥3a1a2a3b1b2b3c1c2c33=39!3≈213.98.S \ge 3 \sqrt[3]{a_1 a_2 a_3 b_1 b_2 b_3 c_1 c_2 c_3} = 3 \sqrt[3]{9!} \approx 213.98.
  1. 因为SS是整数，所以S≥214.S \ge 214.。
  2. 注意到
2⋅5⋅7+1⋅8⋅9+3⋅4⋅6=214,2 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 8 \cdot 9 + 3 \cdot 4 \cdot 6 = 214,

因此，SS的最小可能值是214.\boxed{214}.。

✏️ 练习

1

设{ak}\{a_k\}是一个整数数列，满足a1=1a_1=1，且对所有正整数mm和n.n.，都有am+n=am+an+mn,a_{m+n}=a_m+a_n+mn,。求a12.a_{12}.。

2

有一列整数a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots，满足对每个n≥3.n \ge 3.都有an=an−1−an−2a_n = a_{n - 1} - a_{n - 2}。如果这列数的前14921492项和是1985,1985,，前19851985项和是14921492，那么它的前20012001项和是多少？

3

设 aa、bb、cc 是实数，且满足 a+b+c=0a + b + c = 0。求 ab+ac+bcab + ac + bc 的所有可能取值组成的集合。

4

设a,a,、b,b,、cc是一个三项等差数列，且各项均为正数，满足abc=64.abc = 64.。求b.b.的最小可能值。

5

设{ak}\{a_k\}是一个整数数列，满足a1=1a_1=1，且对所有正整数mm和n.n.，都有am+n=am+an+mn,a_{m+n}=a_m+a_n+mn,。求a12.a_{12}.。