解一元一次方程

📘 一元一次方程·
⭐⭐
·移项、合并、系数化为1

🎯 学习目标

  • 理解一元一次方程的基本结构和解的含义
  • 掌握移项、合并同类项和系数化为1的解题步骤
  • 能正确、规范地解简单的一元一次方程

📚 核心概念

一元一次方程是指只含有一个未知数（通常用 xx 表示），且未知数的最高次数是1的等式，其一般形式为 ax+b=cax + b = c（其中 a≠0a \neq 0）。解一元一次方程的目标是求出使等式成立的未知数的值。

解这类方程的核心思想是“等式两边同时进行相同的运算，等式仍然成立”。常用步骤包括：

  1. 移项：把含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边。移项时要变号，比如从左边移到右边的 +3+3 变成 −3-3。
  2. 合并同类项：将等号两边的同类项（如 2x+3x2x + 3x 或 5−25 - 2）分别合并，简化方程。
  3. 系数化为1：通过两边同时除以未知数的系数，得到 x=某个数x = \text{某个数} 的形式。

例如，解方程 2x+5=112x + 5 = 11：先移项得 2x=11−52x = 11 - 5，再合并得 2x=62x = 6，最后两边除以2，得 x=3x = 3。整个过程要保持每一步都等价变形，确保解的正确性。

📝 关键公式

  • 移项法则：若 a=ba = b，则 a+c=b+ca + c = b + c，a−c=b−ca - c = b - c。例如：x+3=7⇒x=7−3x + 3 = 7 \Rightarrow x = 7 - 3
  • 合并同类项：mx+nx=(m+n)xmx + nx = (m + n)x。例如：2x+3x=5x2x + 3x = 5x
  • 系数化为1：若 ax=bax = b（a≠0a \neq 0），则 x=bax = \frac{b}{a}。例如：4x=12⇒x=124=34x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{4} = 3

💡 经典例题

例题1：解方程 3x−4=83x - 4 = 8

解：

  1. 移项：将 −4-4 移到右边，变号得 3x=8+43x = 8 + 4
  2. 合并：3x=123x = 12
  3. 系数化为1：两边同除以3，得 x=123=4x = \frac{12}{3} = 4

所以，方程的解是 x=4x = 4。

例题2：解方程 5−2x=x+115 - 2x = x + 11

解：

  1. 移项：把含 xx 的项移到左边，常数移到右边。注意移项变号： −2x−x=11−5-2x - x = 11 - 5
  2. 合并同类项：左边 −3x-3x，右边 66，得 −3x=6-3x = 6
  3. 系数化为1：两边同除以 −3-3，得 x=6−3=−2x = \frac{6}{-3} = -2

所以，方程的解是 x=−2x = -2。

⚠️ 易错点

  • 移项忘记变号：如把 x+5=10x + 5 = 10 中的 +5+5 移到右边写成 x=10+5x = 10 + 5（错误！应为 x=10−5x = 10 - 5）。避免方法：牢记“移项必变号”。
  • 合并同类项出错：如 3x−x3x - x 算成 33（正确应为 2x2x）。避免方法：只合并系数，字母部分保留不变。
  • 系数化1时符号错误：如 −2x=6-2x = 6 得 x=3x = 3（错误！应为 x=−3x = -3）。避免方法：注意负号，除法也要考虑符号。
  • 跳步导致混乱：直接心算跳过书写步骤，容易出错。避免方法：按“移项→合并→化1”三步清晰书写。

💡 例题

1

设 (x,y)(x, y) 是方程组

⌊x⌋+{y}=2.4,{x}+⌊y⌋=5.1\begin{aligned} \lfloor x \rfloor + \{y\} &= 2.4, \\ \{x\} + \lfloor y \rfloor &= 5.1 \end{aligned}

的一组解。求 ∣x−y∣|x - y|。

  1. 看第一个方程：⌊x⌋+{y}=2.4\lfloor x \rfloor + \{y\} = 2.4。 因为 ⌊x⌋\lfloor x \rfloor 是整数，而 0≤{y}<10 \le \{y\} < 1，所以只能是 ⌊x⌋=2\lfloor x \rfloor = 2，{y}=0.4\{y\} = 0.4。
  2. 看第二个方程：{x}+⌊y⌋=5.1\{x\} + \lfloor y \rfloor = 5.1。 同理，只能是 {x}=0.1\{x\} = 0.1，⌊y⌋=5\lfloor y \rfloor = 5。
  3. 所以 x=⌊x⌋+{x}=2+0.1=2.1x = \lfloor x \rfloor + \{x\} = 2 + 0.1 = 2.1， y=⌊y⌋+{y}=5+0.4=5.4y = \lfloor y \rfloor + \{y\} = 5 + 0.4 = 5.4。
  4. 因此 ∣x−y∣=∣2.1−5.4∣=3.3|x - y| = |2.1 - 5.4| = 3.3。
2

计算下面的算式：

121(113−117)+169(117−111)+289(111−113)11(113−117)+13(117−111)+17(111−113) .\frac{121 \left( \frac{1}{13} - \frac{1}{17} \right) + 169 \left( \frac{1}{17} - \frac{1}{11} \right) + 289 \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \right)}{ 11 \left( \frac{1}{13} - \frac{1}{17} \right) + 13 \left( \frac{1}{17} - \frac{1}{11} \right) + 17 \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \right)} \, .
  1. 设a=11a=11，b=13b=13，c=17c=17。用这些字母表示，原算式变成 a2(1b−1c)+b2(1c−1a)+c2(1a−1b)a(1b−1c)+b(1c−1a)+c(1a−1b) . \frac{a^2 \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{c} \right) + b^2 \left( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} \right) + c^2 \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)}{ a \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{c} \right) + b \left( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} \right) + c \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)} \, .
  2. 把分母相同的项合并，得到 1a(c2−b2)+1b(a2−c2)+1c(b2−a2)1a(c−b)+1b(a−c)+1c(b−a) . \frac{\frac{1}{a}(c^2-b^2) + \frac{1}{b}(a^2-c^2) + \frac{1}{c}(b^2-a^2)}{\frac{1}{a}(c-b) + \frac{1}{b}(a-c) + \frac{1}{c}(b-a)} \, .
  3. 分子用平方差公式变形： 1a(c+b)(c−b)+1b(a+c)(a−c)+1c(b+a)(b−a).\frac{1}{a}(c+b)(c-b) + \frac{1}{b}(a+c)(a-c) + \frac{1}{c}(b+a)(b-a).
  4. 设S=a+b+cS = a + b + c，则分子变为 1a(S−a)(c−b)+1b(S−b)(a−b)+1c(S−c)(b−a)=1a(c−b)S−(c−b)+1b(a−b)S−(a−c)+1c(b−a)S−(b−a)=[1a(c−b)+1b(a−b)+1c(b−a)]S\begin{aligned} &\frac{1}{a}(S-a)(c-b) + \frac{1}{b}(S-b)(a-b) + \frac{1}{c}(S-c)(b-a) \\ &=\frac{1}{a}(c-b)S - (c-b) + \frac{1}{b}(a-b)S - (a-c) + \frac{1}{c}(b-a)S-(b-a) \\ &= \left[ \frac{1}{a}(c-b)+ \frac{1}{b}(a-b) + \frac{1}{c}(b-a) \right]S \end{aligned}
  5. 而这个结果正好等于分母乘以SS。所以原算式化简为SS，即a+b+c=11+13+17=41a+b+c = 11+13+17=\boxed{41}。

✏️ 练习

1

计算

∏n=120n+3n.\prod_{n = 1}^{20} \frac{n + 3}{n}.
2

考虑椭圆

9(x−1)2+y2=36.9(x-1)^2 + y^2 = 36.

。设AA是其长轴的一个端点，BB是其短轴的一个端点。求距离AB.AB.。

3

设 (x,y)(x, y) 是方程组

⌊x⌋+{y}=2.4,{x}+⌊y⌋=5.1\begin{aligned} \lfloor x \rfloor + \{y\} &= 2.4, \\ \{x\} + \lfloor y \rfloor &= 5.1 \end{aligned}

的一组解。求 ∣x−y∣|x - y|。

4

已知0≤x3≤x2≤x1≤10\le x_3 \le x_2 \le x_1\le 1和(1−x1)2+(x1−x2)2+(x2−x3)2+x32=14,(1-x_1)^2+(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+x_3^2=\frac{1}{4},，求x1.x_1.。

5

求方程

2−x3+x−1=1.\sqrt[3]{2 - x} + \sqrt{x - 1} = 1.

的所有解。 请将所有解用逗号隔开，填入答案框。