我们知道：如果一个有理系数多项式有一个无理数$a + \sqrt{b}$作为根，那么它的根式共轭$a - \sqrt{b},$也必须是该多项式的根。

对于所有$n = 1, 2, \ldots, 1000,$，数$n + \sqrt{n+1}$都是给定多项式的根，因此我们考虑每个根都需配一个对应的共轭根，这样共得$2 \cdot 1000 = 2000$个根。但并非所有$n + \sqrt{n+1}$都是无理数：当$n+1$是完全平方数时，这个数是有理数（实际上是整数），它没有根式共轭。

使得$n+1$为完全平方数的$n$共有$30$个，因为$n+1$可以取完全平方数$2^2, 3^2, \ldots, 31^2.$中的任意一个。因此，我们要从初始计数中减去$30,$，得到该多项式至少要有$2000 - 30 = 1970$个根。由于多项式的根的个数等于其次数，所以该多项式的最小可能次数是$\boxed{1970}.$。

1. 这个三次多项式经过点$(2,1),$、$(7,19),$、$(15,11),$和$(20,29).$。
2. 这四个点连起来是一个平行四边形，中心是$(11,15).$。
3. 设$f(x) = p(x + 11) - 15.$，则

$$\begin{aligned} f(-9) &= p(2) - 15 = -14, \\ f(-4) &= p(7) - 15 = 4, \\ f(4) &= p(15) - 15 = -4, \\ f(9) &= p(20) - 15 = 14. \end{aligned}$$

4. 再设$g(x) = -f(-x).$，则

$$\begin{aligned} g(-9) &= -f(9) = -14, \\ g(-4) &= -f(4) = 4, \\ g(4) &= -f(-4) = -4, \\ g(9) &= -f(-9) = 14. \end{aligned}$$

5. $f(x)$和$g(x)$都是三次多项式，且在4个不同自变量处取值相同，根据恒等定理，它们是同一个多项式。即：

$$-f(-x) = f(x).$$

6. 所以

$$15 - p(11 - x) = p(x + 11) - 15,$$

即

$$p(11 - x) + p(x + 11) = 30$$

对所有$x.$成立。 7. 令

$$S = p(1) + p(2) + p(3) + \dots + p(21).$$

则

$$S = p(21) + p(20) + p(19) + \dots + p(1),$$

所以

$$2S = [p(1) + p(21)] + [p(2) + p(20)] + [p(3) + p(19)] + \dots + [p(21) + p(1)].$$

8. 因为$p(11 - x) + p(x + 11) = 30,$，所以每一项都等于30。因此

$$2S = 21 \cdot 30 = 630,$$

且$S = 630/2 = \boxed{315}.$