单项式乘法

📘 整式的乘法与因式分解·
⭐⭐
·系数相乘、指数相加

🎯 学习目标

  • 理解单项式乘法的基本规则
  • 掌握系数相乘、相同字母的幂指数相加的方法
  • 能正确计算两个或多个单项式的乘积

📚 核心概念

单项式是指由数字与字母的乘积组成的代数式，例如 3x3x、−2a2b-2a^2b 等。单项式乘法的核心规则有两条：第一，系数相乘；第二，相同字母的幂按照同底数幂的乘法法则处理——即指数相加。

具体来说，如果有两个单项式 axmynax^m y^n 和 bxpyqbx^p y^q，它们的乘积为：

(axmyn)⋅(bxpyq)=(a⋅b)⋅xm+p⋅yn+q(ax^m y^n) \cdot (bx^p y^q) = (a \cdot b) \cdot x^{m+p} \cdot y^{n+q}

这里，aa 和 bb 是系数，直接相乘；而相同字母（如 xx 和 yy）的指数分别相加。

需要注意的是，如果某个字母只出现在其中一个单项式中，则在结果中保留该字母及其原有指数。例如：2x2⋅3y=6x2y2x^2 \cdot 3y = 6x^2y。

通过反复练习，同学们可以熟练掌握这一运算规则，为后续学习多项式乘法和因式分解打下基础。

📝 关键公式

  • 系数相乘，同底数幂指数相加：
(axm)⋅(bxn)=(a⋅b)xm+n (a x^m) \cdot (b x^n) = (a \cdot b) x^{m+n}

示例：4x3⋅5x2=20x3+2=20x54x^3 \cdot 5x^2 = 20x^{3+2} = 20x^5

  • 含多个字母的单项式相乘：
(axmyn)⋅(bxpyq)=ab⋅xm+pyn+q (a x^m y^n) \cdot (b x^p y^q) = ab \cdot x^{m+p} y^{n+q}

示例：−2a2b⋅3ab3=−6a2+1b1+3=−6a3b4-2a^2b \cdot 3ab^3 = -6a^{2+1}b^{1+3} = -6a^3b^4

💡 经典例题

例题1：计算 5x2⋅(−3x4)5x^2 \cdot (-3x^4)

解：

  1. 系数相乘：5×(−3)=−155 \times (-3) = -15
  2. 相同字母 xx 的指数相加：2+4=62 + 4 = 6
  3. 结果为：−15x6-15x^6

例题2：计算 (−2a2b3)⋅(4ab2)⋅(−12a3)(-2a^2b^3) \cdot (4ab^2) \cdot (-\frac{1}{2}a^3)

解：

  1. 先处理系数：(−2)×4×(−12)=(−8)×(−12)=4(-2) \times 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = (-8) \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 4
  2. 处理字母 aa 的指数：2+1+3=62 + 1 + 3 = 6，所以 a6a^6
  3. 处理字母 bb 的指数：3+2+0=53 + 2 + 0 = 5（第三个单项式不含 bb，视为 b0b^0），所以 b5b^5
  4. 最终结果：4a6b54a^6b^5

⚠️ 易错点

  • 忘记负号：系数中有负数时容易漏掉符号。解决方法：先单独计算系数（包括符号），再处理字母部分。
  • 指数相加错误：误将指数相乘（如把 x2⋅x3x^2 \cdot x^3 算成 x6x^6）。记住：同底数幂相乘，指数相加，不是相乘。
  • 遗漏只在一个单项式中出现的字母：比如 3x⋅2y3x \cdot 2y 错写成 6x6x 或 6y6y。正确做法是所有字母都要保留。
  • 混淆系数与指数：例如把 2x32x^3 中的 2 当作指数。要明确：数字在前是系数，在上标位置才是指数。

💡 例题

1

对于某个整数mm，多项式x3−2011x+mx^3 - 2011x + m有三个整数根aa、bb和cc。求∣a∣+∣b∣+∣c∣.|a| + |b| + |c|.。

  1. 根据韦达定理，
{a+b+c=0ab+bc+ac=−2011.\left\{ \begin{aligned} a + b + c &= 0 \\ ab+bc+ac&=-2011. \end{aligned} \right.

。 2. 因为a+b=−c,a+b=-c,，第二个方程变为ab+(−c)c=−2011ab+(-c)c = -2011，即

c2−ab=2011.c^2 - ab= 2011.

。 3. a,b,ca, b, c中至少有两个同号；不妨设aa和bb同号。 4. 又因为将a,b,ca, b, c全部变号后仍满足上面两个方程，所以可设c≥0.c \ge 0.（注意：我们只需求和∣a∣+∣b∣+∣c∣|a| + |b| + |c|，交换或变号不改变该和）。 5. 此时有ab≥0,ab \ge 0,，所以c2≥2011c^2 \ge 2011，得c≥44.c \ge 44.。 6. 又由

c24=(a+b2)2≥ab\frac{c^2}{4} = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \ge ab

及均值-几何平均不等式（AM-GM），得2011=c2−ab≥3c2/4,2011 = c^2 - ab \ge 3c^2/4,，即c≤51.c \le 51.。 7. 最后，(a−b)2=(a+b)2−4ab=(−c)2−4(c2−2011)=8044−3c2(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = (-c)^2 - 4(c^2-2011) = 8044 - 3c^2必须是一个完全平方数。 8. 尝试c=44,45,…,51c = 44, 45, \ldots, 51，发现仅当c=49c = 49时，8044−3c28044 - 3c^2是完全平方数。 9. 因此c=49c = 49，于是

{a+b=−c=−49,ab=c2−2011=390.\left\{ \begin{aligned} a+b&= -c = -49, \\ ab &= c^2 - 2011 = 390. \end{aligned} \right.

。 10. 所以aa和bb是方程t2+49t+390=0t^2 + 49t + 390 = 0的根，该方程可分解为(t+10)(t+39)=0(t+10)(t+39) = 0，故{a,b}={−10,−39}\{a, b\} = \{-10, -39\}。